成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教B版 選修2 3 統(tǒng)計(jì)案例 第三章 3 2回歸分析 第三章 2015年4月25日尼泊爾發(fā)生了8 1級(jí)地震 此次地震系本世紀(jì)陸地第5次八級(jí)大地震 余震頻繁而且震級(jí)還高 僅7級(jí)以上余震就發(fā)生了2次 你知道地震的震級(jí)與地震次數(shù)之間有什么關(guān)系嗎 求回歸直線方程的步驟是什么 答案 作出散點(diǎn)圖 判斷散點(diǎn)圖是否在一條直線附近 如果兩變量是線性相關(guān)的 那么再用公式求出回歸系數(shù)和 寫出回歸直線方程 一 散點(diǎn)圖的理解將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) xi yi i 1 2 3 n 描在平面直角坐標(biāo)系中來表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖 注意 1 在散點(diǎn)圖中 橫坐標(biāo)代表一個(gè)變量 縱坐標(biāo)代表一個(gè)變量 所以散點(diǎn)圖中每個(gè)點(diǎn)可設(shè)為 x y 2 從散點(diǎn)圖中我們可以看到點(diǎn)散布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi) 即一個(gè)變量的值由小到大時(shí) 另一個(gè)變量的值也由小到大 這種關(guān)系我們稱為正相關(guān) 反之 如果兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)散布的位置由左上角到右下角的區(qū)域 即一個(gè)變量的值由小變大時(shí) 另一個(gè)變量的值由大變小 這種關(guān)系稱為負(fù)相關(guān) 3 散點(diǎn)圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系 相關(guān)的方向 但不能精確地說明變量之間的密切程度 因此需要計(jì)算相關(guān)系數(shù)來描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的密切程度 5個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤?判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系 二 回歸直線方程1 回歸直線方程的思想方法 1 回歸直線 觀察散點(diǎn)圖的特征 如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近 我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系 這條直線叫做回歸直線 2 最小二乘法 實(shí)際上 求回歸直線方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫 從整體上看 各點(diǎn)與此直線的距離最小 即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn) 最能代表變量x與y之間的關(guān)系 為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性 甲 乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立地做了10次和15次試驗(yàn) 并且利用線性回歸方法 求得回歸直線分別為l1和l2 已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都為s 對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是t 則下列說法正確的是 A l1與l2有交點(diǎn) s t B l1與l2相交 但交點(diǎn)不一定是 s t C l1與l2必定平行D l1與l2必定重合 答案 A 某工業(yè)部門進(jìn)行一項(xiàng)研究 分析該部門的產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的關(guān)系 從該部門內(nèi)隨機(jī)抽選了10個(gè)企業(yè)為樣本 有如下資料 四 可線性化的回歸分析應(yīng)用研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系時(shí) 我們常根據(jù)樣本作出散點(diǎn)圖 觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布 從整體看 如果樣本點(diǎn)沒有在某一條直線附近 稱這兩個(gè)變量間不具有線性相關(guān)關(guān)系 即這兩個(gè)變量是非線性相關(guān)關(guān)系 對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系 可以通過變量轉(zhuǎn)換 把非線性回歸問題化成線性回歸問題 然后用線性回歸的方法進(jìn)行研究 在大量的實(shí)際問題中 所研究的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系 當(dāng)兩變量y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí) 要借助于散點(diǎn)圖 與已學(xué)過的函數(shù) 如指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)等 的圖象相比較 找到合適的函數(shù)模型 利用變量代換轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)關(guān)系 從而使問題得以解決 1 指數(shù)函數(shù)型 y aebx a 0 函數(shù)y aebx a 0 的圖象 見圖 2 對(duì)數(shù)函數(shù)型 y a blnx 函數(shù)y a blnx的圖象 見圖 從某大學(xué)中隨機(jī)抽取8名女大學(xué)生 其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表所示 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程 并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重 說明回歸方程中x的系數(shù)的實(shí)際意義 散點(diǎn)圖與回歸方程 解析 由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重 因此選取身高為自變量x 真實(shí)體重為因變量y 作散點(diǎn)圖 從圖中可以看出 樣本點(diǎn)呈條狀分布 身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系 因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系 某工廠1 8月份某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見下表 以產(chǎn)量為x 成本為y 1 畫出散點(diǎn)圖 2 y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系 若有 求出其回歸方程 解析 1 散點(diǎn)圖如下圖所示 2 從上圖可以看出 這些點(diǎn)基本上分布在一條直線附近 可以認(rèn)為x和y線性關(guān)系顯著 下面求其回歸方程 首先列出下表 給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù) 1 作出兩者之間的散點(diǎn)圖 2 若兩者之間存在線性相關(guān)關(guān)系 求其回歸直線方程 線性回歸分析 解析 1 散點(diǎn)圖略 2 表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算 列成以下表格 方法總結(jié) 要注意從題目中提取有效信息 利用公式求解即可 在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表 在一化學(xué)反應(yīng)過程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y 單位 g min 與一種催化劑的量x 單位 g 有關(guān) 現(xiàn)收集了8組數(shù)據(jù)列于表中 試建立y與x之間的回歸方程 非線性回歸問題 解析 根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖 1 可認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y c1x2 c2的附近 令t x2 則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線y bt a b c1 a c2 的周圍 由題意得變換后t與y的樣本數(shù)據(jù)表 作y與t的散點(diǎn)圖由y與t的散點(diǎn)圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)并不分布在一條直線的周圍 因此不宜用線性回歸方程y bt a來擬合 即不宜用二次曲線y c1x2 c2來擬合y與x之間的關(guān)系 2 根據(jù)x與y的散點(diǎn)圖也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y c1ec2x的周圍 令z lny 則z c2x lnc1 即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z bx a a lnc1 b c2 的周圍 由y與x的數(shù)據(jù)表可得z與x的數(shù)據(jù)表 作出z與x的散點(diǎn)圖 方法總結(jié) 非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式 這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過的各種函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)等 圖象作比較 挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù) 然后像本例這樣 采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q 把問題化為線性回歸分析問題 使之得到解決 下列散點(diǎn)圖中最符合線性回歸的是 錯(cuò)解 A或B或C 辨析 線性回歸中的 線 指的是直線 當(dāng)數(shù)據(jù)分布在一條直線附近或一個(gè)條形 帶狀 區(qū)域時(shí)宜用線性回歸 正解 D