成才之路 數學 路漫漫其修遠兮吾將上下而求索 人教A版 必修5 不等式 第三章 3 2一元二次不等式及其解法 第三章 第1課時一元二次不等式及其解法 1 理解一元二次方程 一元二次不等式與二次函數的關系 2 掌握圖象法解一元二次不等式的方法 3 培養(yǎng)數形結合 分類討論思想方法 在2010年溫哥華冬奧會跳臺滑雪比賽中 一位跳臺滑雪運動員在90米級跳臺滑雪時 想使自己的飛行距離超過68米 他若以自身體重從起滑臺起滑 經助滑道于臺端飛起時的初速度最快為110千米 小時 那么他能實現自己的目標嗎 2 二次方程ax2 bx c 0 a 0 在 b2 4ac 0時 有兩不等實根 此時對應的二次函數y ax2 bx c與x軸有 公共點 0時 有兩相等實根 此時 對應二次函數y ax2 bx c與x軸有 公共點 上 下 兩個 一個 1 一元二次不等式的概念觀察下列不等式 1 x2 2x 0 2 3x2 1 0 3 2x2 4x 3 0 它們含有幾未知數 未知數的最高次數是多少 它們有何共同特點 只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是2的不等式 稱為一元二次不等式 元 是未知數 一元 就是含有一個未知數 如 x2 5x0 3x2 5x 73等都是一元二次不等式 注意 1 在一元二次不等式的表達式中 一定有條件a 0 即二次項的系數不為零 2 對于ax2 bx c 0 或 0 的形式 如果不指明是二次不等式 那么它也可能是一次不等式 應特別注意分類討論 判斷下列不等式中哪些是一元二次不等式 x2 0 x2 x 5 x3 5x 6 0 mx2 5y0 解析 是 不是 因為x3的最高次數是3 不符合定義 不是 當m 0時 它是一元一次不等式 當m 0 它含有兩個未知數x y 不一定是 當a 0時 它不符合一元二次不等式的定義 當a 0時 是 2 一元二次不等式的解法分別畫出下列幾個函數的圖象 草圖 觀察圖象回答當x取何范圍內的值時 y 0 y 0 1 y x 1 x 2 2 y x 3 2 3 y x 2 2 3 4 y x2 4x 3 通過上面的觀察 你發(fā)現了什么 設一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩個不等實根分別為x1 x2 x10 a 0 的解集為 x xx2 不等式ax2 bx c0 的解集為 x x10 的判別式 0的解集是R 而ax2 bx c 0的解集是 2 畫出函數y x2 2x 3的圖象 觀察圖象 可見 1 x 時 y 0 方程x2 2x 3 0的根為 2 x 時 y 0 不等式x2 2x 3 0的解集為 3 x 時 y3 x x3 3 x 1 x 3 x 1 x 3 解析 方程x2 2x 3 0的兩根分別是x1 1 x2 3 函數y x2 2x 3的圖象如圖所示 由圖象可知 當x 1 3 時 y 0 方程x2 2x 3 0的根為x1 1 x2 3 當x x x3 時 y 0 不等式x2 2x 3 0的解集為 x x3 當x x 1 x 3 時 y 0 不等式x2 2x 3 0的解集為 x 1 x 3 3 解下列不等式 1 2x2 3x 2 0 2 3x2 6x 2 解下列不等式 1 x2 3x 5 0 2 6x2 x 2 0 3 4x2 1 4x 4 2x2 4x 7 0 一元二次不等式的解法 2015 昆明市質檢 設集合A x x2 3x 41 則A B A 1 4 B 1 1 C 1 D 1 答案 A 解析 A x 1 x 4 A B x 1 x 4 選A 三個二次 關系的應用 方法規(guī)律總結 1 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集的端點值是一元二次方程ax2 bx c 0的根 也是函數y ax2 bx c的圖象與x軸交點的橫坐標 2 注意靈活運用根與系數的關系解決問題 某熱帶風暴中心B位于海港城市A東偏南30 的方向 與A市相距400km 該熱帶風暴中心B以40km h的速度向正北方向移動 影響范圍的半徑是350km 問 從此時起 經多少時間后A市將受熱帶風暴影響 大約受影響多長時間 一元二次不等式的實際應用 汽車在行駛中 由于慣性作用 剎車后還要向前滑行一段距離才能停住 我們稱這段距離為 剎車距離 剎車距離是分析事故的一個重要因素 在一個限速40km h以內的彎道上 甲 乙兩車相向而行 發(fā)現情況不對 同時剎車 但還是相碰了 事后現場測得甲車的剎車略超過12m 乙車的剎車略超過10m 又知甲 乙兩種車型的剎車距離s m 與車速x km h 之間有如下關系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 問 超速行駛應負主要責任的是誰 解析 要分清誰是應付主要責任者 就需分析行車速度 要弄清速度問題 就要利用剎車距離函數與實測數據 構建數學模型 由題意列出不等式甲 0 1x 0 01x2 12 乙 0 05x 0 005x2 10 x 0 解得x甲 30km h x乙 40km h 經比較知乙車超過限速 應付主要責任 辨析 錯解忽視了k 0時 kx2 6kx k 8 0也成立 考慮問題不全面導致錯誤 警示 對于二次項系數中含字母的二次不等式 解題中要注意系數為零的情況 一元二次不等式的解法