1 3中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例 1 理解算法案例的算法步驟和程序框圖 2 引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法程序 新課講授部分 講解兩種算法的應(yīng)用與優(yōu)點(diǎn) 例題部分 通過典例講解讓學(xué)生熟悉兩種中國(guó)古代算法 復(fù)習(xí)鞏固部分通過練習(xí)對(duì)知識(shí)鞏固 讓學(xué)生更系統(tǒng)掌握本節(jié)課的所學(xué)知識(shí) 算法案例一更相減損之術(shù) 等值算法 思考1小學(xué)學(xué)過的求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是怎樣呢 先用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除 一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止 然后把所有的除數(shù)連乘起來 解答 例1 求下面兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù) 1 求25和35的最大公約數(shù) 2 求49和63的最大公約數(shù) 所以 25和35的最大公約數(shù)為5 所以 49和63的最大公約數(shù)為7 解答 思考2如何算出98與63的最大公約數(shù) 除了用這種方法外還有沒有其他方法 輾轉(zhuǎn)相除法 解答 由于63不是偶數(shù) 把98和63以大數(shù)減小數(shù) 并輾轉(zhuǎn)相減 98 63 3563 35 2835 28 728 7 2121 7 1414 7 7 所以 98和63的最大公約數(shù)等于7 思考3什么是更相減損之術(shù) 有什么具體作用呢 解答 所謂更相減損之術(shù) 就是對(duì)給定的兩個(gè)數(shù) 用較大的數(shù)減去較小的數(shù) 然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù) 再用較大的數(shù)減去較小的數(shù) 反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等 此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù) 更相減損之術(shù) 是我國(guó)古代數(shù)學(xué)算法的叫法 現(xiàn)代數(shù)學(xué)中稱作等值算法 主要的作用是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù) 思考4你能根據(jù)更相減損之術(shù)設(shè)計(jì)程序 求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎 程序 a input pleasegivethefirstnumber b input pleasegivethesecondnumber Whileabifa ba a b elseb b a endendprint io 2 a b 算法案例二秦九韶算法 思考1想想怎樣求多項(xiàng)式f x x5 x4 x3 x2 x 1當(dāng)x 5時(shí)的值呢 算法1 計(jì)算多項(xiàng)式 x x x x x 1當(dāng)x 5的值的算法 因?yàn)?x x x x x 1 所以 5 5 5 5 5 5 3125 625 125 25 5 3906 解答 算法2 5 55 54 53 52 5 5 54 53 52 5 5 5 5 52 5 5 5 5 52 5 5 5 5 5 5 思考2兩種算法各用了幾次乘法運(yùn)算和幾次加法運(yùn)算 算法一共做了1 2 3 4 10次乘法運(yùn)算 5次加法運(yùn)算 算法二共做了4次乘法運(yùn)算 5次加法運(yùn)算 解答 通過對(duì)比 很明顯 算法二比算法一優(yōu)越 這種算法就是秦九韶算法 對(duì)該多項(xiàng)式按下面的方式進(jìn)行改寫 思考3秦九韶算法的概念和特點(diǎn)是怎樣的呢 解答 這種將求一個(gè)n次多項(xiàng)式f x 的值轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的方法 稱為秦九韶算法 秦九韶算法的特點(diǎn) 通過一次式的反復(fù)計(jì)算 逐步得出高次多項(xiàng)式的值 對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式 只需做n次乘法和n次加法即可 另外這種算法還避免了對(duì)自變量x單獨(dú)做冪的計(jì)算 而是與系數(shù)一起逐次增長(zhǎng)冪次 從而可提高計(jì)算的精度 例2 已知一個(gè)五次多項(xiàng)式為 用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x 0 2的值 將多項(xiàng)式變形 解答 所以 當(dāng)x 0 2時(shí) 多項(xiàng)式的值等于0 81873 1 在對(duì)16和12求最大公約數(shù)時(shí) 整個(gè)操作如下 16 12 4 12 4 8 4 4 由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是 A 4B 12C 16D 8 A 2 已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為用秦九韶算法求f 5 的值 解 f x 5x 2 x 3 5 x 2 6 x 1 7 x 0 8 v1 5 5 2 27 v2 27 5 3 5 138 5 v3 138 5 5 2 6 689 9 v4 689 9 5 1 7 3451 2 v5 3451 2 5 0 8 17255 2 所以f 5 17255 2 1 近三年各地的高考中 對(duì)算法案例都不作考查 高考雖然沒有考查 但在平時(shí)的考試中通常以選擇或填空的形式出現(xiàn) 且難度適中 2 我們學(xué)習(xí)算法案例 主要是為了進(jìn)一步理解算法的思想 能夠用程序來解決生活中常見的數(shù)學(xué)問題 所以應(yīng)該認(rèn)真學(xué)習(xí)