第二章推理與證明 2 2 1綜合法與分析法 1 了解綜合法的思考過(guò)程 特點(diǎn) 會(huì)用綜合法證明題目 2 了解分析法的分析思路 會(huì)用分析法證明題目 3 能用分析法分析證題思路 用綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程 應(yīng)用 1 證明不等式2 證明等式 內(nèi)容 本課主要學(xué)習(xí)綜合法與分析法 通過(guò)兩個(gè)引例出發(fā) 引入綜合法與分析法 通過(guò)對(duì)比掌握它們證題的特點(diǎn) 并總結(jié)出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系 為在實(shí)際問(wèn)題中分析問(wèn)題尋找解題方法做好鋪墊 重點(diǎn) 會(huì)用綜合法和分析法證明問(wèn)題 了解綜合法與分析法的思考過(guò)程 難點(diǎn) 根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn) 結(jié)合綜合法與分析法的思考過(guò)程 特點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 本課選用了兩個(gè)例題 例題設(shè)置難易適度 每個(gè)例題后有針對(duì)性的練習(xí) 便于學(xué)生鞏固和掌握 且第一個(gè)例題與變式訓(xùn)練分別用分析法和綜合法來(lái)證明 讓學(xué)生真正體會(huì)兩種方法的優(yōu)點(diǎn)與作用 另外 第二個(gè)例題可以用綜合法 也可以用分析法 從而鍛煉學(xué)生靈活應(yīng)用方法解決問(wèn)題的能力 采用一講一練針對(duì)性講解的方式 重點(diǎn)理解綜合法與分析法的應(yīng)用 通過(guò)觀看視頻 大家一起討論一下我們應(yīng)該如何測(cè)的恒星之間的距離呢 如何測(cè)的恒星之間的距離 復(fù)習(xí) 合情推理得到的結(jié)論是不可靠的 需要證明 數(shù)學(xué)中證明的方法有哪些呢 引例一 證明不等式 證法1 由 證法2 由 證法2是從已經(jīng)成立的事實(shí)出發(fā) 經(jīng)過(guò)正確推理 得到要證的結(jié)論 綜合法 引例二 求證 分析 從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn) 因此我們直接從待證不等式出發(fā) 分析其成立的充分條件 在本例中 由于我們很難想到從 21 25 入手 所以用綜合法證明比較困難 以上采用的證明方法就是分析法 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過(guò)一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 這種證明方法叫做綜合法 用P表示已知條件 已有的定義 公理 定理等 Q表示所要證明的結(jié)論 則綜合法用框圖表示為 綜合法是由一個(gè)個(gè)推理組成的 特點(diǎn) 由因索果 綜合法概念 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求推證過(guò)程中 使每一步結(jié)論成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件為止 這種證明的方法叫做分析法 這個(gè)明顯成立的條件可以是 已知條件 定理 定義 公理等 則分析法用框圖表示為 分析法概念 1 區(qū)別 綜合法是從已知條件出發(fā) 逐步推向未知 每步尋找的是必要條件 分析法是從待求結(jié)論出發(fā) 逐步靠攏已知 每步尋找的是充分條件 2 優(yōu)缺點(diǎn) 綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法 兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn) 綜合法從條件推出結(jié)論 能較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題 但不便于思考 分析法解題方向較為明確 容易尋找到解題的思路和方法 缺點(diǎn)是思路逆行 敘述較繁 1 綜合法 要點(diǎn) 順推證法 由因?qū)Ч?2 分析法 要點(diǎn) 逆推證法 執(zhí)果索因 3 綜合法與分析法的區(qū)別及優(yōu)缺點(diǎn) 綜合法與分析法的比較 分析法 從結(jié)論出發(fā) 尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 要證 只要證 只需證 顯然成立上述各步均可逆所以結(jié)論成立 格式 分析基本不等式 a 0 b 0 的證明 證明 因?yàn)?所以所以所以成立 證明 要證只需證只需證只需證因?yàn)槌闪⑺猿闪?還原成綜合法 證明 因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)所以所以成立 證明 要證只需證只需證而當(dāng)且僅當(dāng)成立所以成立 綜合法 證明 方法一 分析法 證明 要證只需證只需證只需證即只需證而由已知條件可知顯然成立 所以命題得證 方法二 綜合法 證明 即即由條件可知即 所以命題得證 例2 在 中 三個(gè)內(nèi)角 對(duì)應(yīng)的邊分別為a b c 且 成等差數(shù)列 a b c成等比數(shù)列 求證 為等邊三角形 證明 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) 往往要先作語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換 如把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言 或把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成圖形語(yǔ)言 還要通過(guò)細(xì)致的分析 把其中的隱含條件明確表示出來(lái) 1 知識(shí)與技能 1 綜合法 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義 公理 定理等 經(jīng)過(guò)一系列的推理論證 最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 2 分析法 從要證明的結(jié)論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 已知條件 定理 定義 公理等 3 綜合法與分析法的區(qū)別 綜合法是從已知條件出發(fā) 逐步推向未知 每步尋找的是必要條件 分析法是從待求結(jié)論出發(fā) 逐步靠攏已知 每步尋找的是充分條件 2 思想與方法 順推與逆推的思想