《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教版選修2-2.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教版選修2-2.ppt（46頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2 3數(shù)學(xué)歸納法 第二章推理與證明 1 了解數(shù)學(xué)歸納法原理 2 掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 欄目索引 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一歸納法及分類 答案 由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法 通常叫歸納法 歸納法可以分為歸納法和歸納法 完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的 因?yàn)樗疾炝藛栴}涉及的所有對(duì)象 不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠 因?yàn)樗豢疾炝四臣虑榈牟糠謱?duì)象 但它是一種重要的思考問題的方法 是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙 是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段 用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律 再用完全歸納法證明 是解決問題的一種重要途徑 完全 不完全 完全歸納法是一種在研究了解事物的所有 有限種 特殊情況后 得出一般結(jié)論的推理方法 又叫枚舉法 與不完全歸納法不同 用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的 通常在事物包括的特殊情況不多時(shí) 采用完全歸納法 思考下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù) 1 1 5 9 13 17 答案 21 8 21 知識(shí)點(diǎn)二數(shù)學(xué)歸納法 答案 1 數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 歸納奠基 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 n0 N 時(shí)命題成立 歸納遞推 假設(shè)n k k n0 k N 時(shí)命題成立 證明當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 2 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)注意幾點(diǎn) 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與有關(guān)的命題 2 在用數(shù)學(xué)歸納法證明中 兩個(gè)基本步驟缺一不可 3 步驟 的證明必須以 假設(shè)n k k n0 k N 時(shí)命題成立 為條件 正整數(shù)n 答案 不能保證猜想一定正確 需要嚴(yán)密的證明 2 多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件 答案 第一塊骨牌倒下 任意相鄰的兩塊骨牌 前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下 條件 事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系 換言之就是假設(shè)第K塊倒下 則相鄰的第K 1塊也倒下 返回 答案 題型探究重點(diǎn)突破 題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立 解析答案 反思與感悟 例1求證 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n N 反思與感悟 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 左邊 1 1 2 右邊 21 1 2 左邊 右邊 等式成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 時(shí)等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2k 1 那么 當(dāng)n k 1時(shí) 左邊 k 2 k 3 k k k k 1 k k 2 2k 1 3 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 2k 1 2 k 1 1 右邊 當(dāng)n k 1時(shí) 等式也成立 由 1 2 可知 對(duì)一切n N 原等式均成立 反思與感悟 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題 關(guān)鍵在于 先看項(xiàng) 弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式的兩邊各有多少項(xiàng) 項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān) 由n k到n k 1時(shí) 等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng) 增加怎樣的項(xiàng) 解析答案 解析答案 題型二證明不等式問題 解析答案 反思與感悟 解析答案 證明由已知條件可得bn 2n n N 不等式成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 時(shí) 不等式成立 則當(dāng)n k 1時(shí) 反思與感悟 要證當(dāng)n k 1時(shí) 不等式成立 反思與感悟 當(dāng)n k 1時(shí) 不等式成立 由 1 2 可知 對(duì)一切n N 原不等式均成立 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)要注意兩湊 一湊歸納假設(shè) 二湊證明目標(biāo) 在湊證明目標(biāo)時(shí) 比較法 綜合法 分析法都適用 反思與感悟 解析答案 解析答案 2 假設(shè)當(dāng)n k時(shí) 不等式成立 則當(dāng)n k 1時(shí) 解析答案 所以當(dāng)n k 1時(shí)不等式成立 由 1 2 知 不等式對(duì)一切n N 都成立 題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 解析答案 反思與感悟 例3求證n N 時(shí) an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 反思與感悟 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命題顯然成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N k 1 時(shí) ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 則當(dāng)n k 1時(shí) ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由歸納假設(shè) 上式中的兩項(xiàng)均能被a2 a 1整除 故當(dāng)n k 1時(shí)命題成立 由 1 2 知 對(duì)任意n N 命題成立 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時(shí) 關(guān)鍵是從當(dāng)n k 1時(shí)的式子中拼湊出當(dāng)n k時(shí)能被某數(shù)整除的式子 并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n An 11n 2 122n 1能被133整除 證明 1 當(dāng)n 0時(shí) A0 112 12 133 能被133整除 2 假設(shè)當(dāng)n k k 0 時(shí) Ak 11k 2 122k 1能被133整除 那么當(dāng)n k 1時(shí) Ak 1 11k 3 122k 3 11 11k 2 122 122k 1 11 11k 2 11 122k 1 122 11 122k 1 11 11k 2 122k 1 133 122k 1 能被133整除 由 1 2 可知 對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n An都能被133整除 題型四用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題 解析答案 反思與感悟 例4已知n個(gè)平面都過同一點(diǎn) 但其中任何三個(gè)平面都不經(jīng)過同一直線 求證 這n個(gè)平面把空間分成f n n n 1 2部分 反思與感悟 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 1個(gè)平面把空間分成2部分 而f 1 1 1 1 2 2 部分 所以命題正確 2 假設(shè)當(dāng)n k k N 時(shí) 命題成立 即k個(gè)符合條件的平面把空間分為f k k k 1 2 部分 當(dāng)n k 1時(shí) 第k 1個(gè)平面和其他每一個(gè)平面相交 使其所分成的空間都增加2部分 所以共增加2k部分 故f k 1 f k 2k k k 1 2 2k k k 1 2 2 k 1 k 1 1 2 部分 即當(dāng)n k 1時(shí) 命題也成立 根據(jù) 1 2 知n個(gè)符合條件的平面把空間分成f n n n 1 2部分 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是 找項(xiàng) 即幾何元素從k增加到k 1時(shí) 所證的幾何量增加多少 同時(shí)要善于利用幾何圖形的直觀性 建立k與k 1之間的遞推關(guān)系 反思與感悟 解析答案 解析答案 證明 1 當(dāng)n 2時(shí) 兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè) 當(dāng)n 2時(shí) 命題成立 2 假設(shè)當(dāng)n k k N k 2 時(shí)命題成立 那么 當(dāng)n k 1時(shí) l與其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k 從而k 1條直線共有f k k個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)n k 1時(shí) 命題成立 由 1 2 可知 對(duì)任意n N n 2 命題都成立 解析答案 因弄錯(cuò)從n k到n k 1的增加項(xiàng)致誤 防范措施 返回 易錯(cuò)易混 錯(cuò)解 當(dāng)n 1時(shí) 解析答案 防范措施 即n 1時(shí)不等式成立 假設(shè)n k k 1 且k N 時(shí)不等式成立 那么 當(dāng)n k 1時(shí) 即n k 1時(shí) 不等式成立 正解 當(dāng)n 1時(shí) 即n 1時(shí)不等式成立 解析答案 防范措施 防范措施 假設(shè)n k k 1 k N 時(shí)不等式成立 那么 當(dāng)n k 1時(shí) 所以n k 1時(shí) 不等式成立 防范措施 當(dāng)n k 1時(shí) 可以寫出相應(yīng)增加的項(xiàng) 然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明 返回 當(dāng)堂檢測(cè) 1 2 3 4 5 A 1B 1 aC 1 a a2D 1 a a2 a4 B 解析答案 解析當(dāng)n 1時(shí) 左邊的最高次數(shù)為1 即最后一項(xiàng)為a 左邊是1 a 故選B 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 答案C 比較 可知C正確 1 2 3 4 5 解析答案 2k 解析觀察f n 的表達(dá)式可知 右端分母是連續(xù)的正整數(shù) 因此f 2k 1 比f 2k 多了2k項(xiàng) 1 2 3 4 5 解析答案 4 用數(shù)學(xué)歸納法證明3n n3 n 3 n N 第一步應(yīng)驗(yàn)證 n 3時(shí)是否成立 解析n的最小值為3 所以第一步驗(yàn)證n 3時(shí)是否成立 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a1 1 Sn n2an n N 依次計(jì)算出S1 S2 S3 S4后 可猜想Sn的表達(dá)式為 課堂小結(jié) 1 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存 缺一不可 有一無二 是不完全歸納法 結(jié)論不一定可靠 有二無一 第二步就失去了遞推的基礎(chǔ) 2 歸納假設(shè)的作用 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí) 對(duì)于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn) 1 歸納假設(shè)就是已知條件 2 在推證n k 1時(shí) 必須用上歸納假設(shè) 返回 3 利用歸納假設(shè)的技巧 在推證n k 1時(shí) 可以通過湊 拆 配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè) 此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo) 又要掌握n k與n k 1之間的關(guān)系 在推證時(shí) 分析法 綜合法 反證法等方法都可以應(yīng)用 4 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法 應(yīng)用十分廣泛 主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式 不等式 數(shù)的整除性 幾何問題 探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題中