圖形的相似 21圖形的相似限時(shí):30分鐘夯實(shí)基礎(chǔ)1.如圖K21-1,兩個(gè)等邊三角形、兩個(gè)矩形、兩個(gè)正方形、兩個(gè)菱形各成一組,每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部,對應(yīng)邊平行,且對應(yīng)邊之間的距離都相等,那么兩個(gè)圖形不相似的一組是()圖K21-12.如圖K21-2,已知直線abc,直線m,n與a,b,c分別交于點(diǎn)A,C,E和點(diǎn)B,D,F.若AC=4,CE=6,BD=3,則DF的值是()圖K21-2A.4B.4.5C.5D.5.53.如圖K21-3,點(diǎn)F在ABCD的邊AB上,射線CF交DA的延長線于點(diǎn)E.在不添加輔助線的情況下,與AEF相似的三角形有()圖K21-3A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)4.xx自貢 如圖K21-4,在ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn).若ADE的面積為4,則ABC的面積為()圖K21-4A.8B.12C.14D.165.xx濰坊 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以原點(diǎn)O為位似中心把AOB放大到原來的2倍,則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.12m,12n D.12m,12n或-12m,-12n6.如圖K21-5,為了估計(jì)河的寬度,在河的對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A,在近岸取點(diǎn)B,C,D,E,使點(diǎn)A,B,D在一條直線上,且ADDE,點(diǎn)A,C,E也在一條直線上,且DEBC.如果BC=24 m,BD=12 m,DE=40 m,那么河的寬度AB約為()圖K21-5A.20 mB.18 mC.28 mD.30 m7.xx邵陽 已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6.則a的值為.圖K21-68.如圖K21-6,已知零件的外徑為30 mm,現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等,OC=OD)測量零件的內(nèi)孔直徑AB.若OCOA=12,且量得CD=12 mm,則零件的厚度x=mm.9.如圖K21-7,在ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD的延長線上,且DF=BE,EF與CD交于點(diǎn)G.(1)求證:BDEF;(2)若DGGC=23,BE=4,求EC的長.圖K21-710.xx陜西 周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量家門前小河的寬.測量時(shí),他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C,A共線.已知CBAD,EDAD,測得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.測量示意圖如圖K21-8所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB.圖K21-8能力提升11.xx達(dá)州 如圖K21-9,E,F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點(diǎn),AE=CF=14AC,連接DE,DF并延長,分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接GH,則SADGSBGH的值為()圖K21-9A.12B.23C.34D.112.xx隨州 在ABC中,AB=6,AC=5,點(diǎn)D在邊AB上,且AD=2,點(diǎn)E在邊AC上,當(dāng)AE=時(shí),以A,D,E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.13.xx鹽城 如圖K21-10,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,P,Q分別為邊BC,AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形,則AQ=.圖K21-1014.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件如圖K21-11,使正方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,AC上.(1)求證:AEFABC;(2)求這個(gè)正方形零件的邊長;(3)如果把它加工成矩形零件(如圖),那么這個(gè)矩形的最大面積是多少?圖K21-11拓展練習(xí)15.xx淮安 如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足2+=90,那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”.(1)若ABC是“準(zhǔn)互余三角形”,C>90,A=60,則B=.(2)如圖K21-12,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=5.若AD是BAC的平分線,不難證明ABD是“準(zhǔn)互余三角形”.試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”?若存在,請求出BE的長;若不存在,請說明理由.(3)如圖,在四邊形ABCD中,AB=7,CD=12,BDCD,ABD=2BCD,且ABC是“準(zhǔn)互余三角形”,求對角線AC的長.圖K21-12參考答案1.B2.B3.C4.D5.B解析 當(dāng)放大后的AOB與AOB在原點(diǎn)O同側(cè)時(shí),點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,2n);當(dāng)放大后的AOB與AOB在原點(diǎn)O兩側(cè)時(shí),點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2m,-2n).故選B.6.B7.12解析 設(shè)a6=b5=c4=k,則a=6k,b=5k,c=4k.a+b-2c=6,6k+5k-8k=6,3k=6.解得k=2.a=6k=12.8.39.解:(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC.DFBE.又DF=BE,四邊形BEFD是平行四邊形.BDEF.(2)BE=4,DF=4.DFEC,F=GEC.又DGF=CGE,DFGCEG.DGGC=DFCE,即23=4CE.EC=6.10.解:CBAD,EDAD,ABC=ADE=90.又CAB=EAD,ABCADE.BCED=ABAD.BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m,AD=AB+8.5.11.5=ABAB+8.5.解得AB=17.河寬AB的長為17 m.11.C解析 如圖,過點(diǎn)H作HMAB,交AD于點(diǎn)M,連接MG.設(shè)S平行四邊形ABCD=1.AE=CF=14AC,SADE=14SADC=18S平行四邊形ABCD=18,SDEC=38.SAEG=19SDEC=124.SADG=SADE+SAEG=18+124=16.CHAD=13,DMAD=13,SAMG=23SADG=19.AGCD=13,AGGB=12,SGBH=2SAMG=29.SADGSBGH=1629=34.故選C.12.125或53解析 當(dāng)AEAD=ABAC時(shí),A=A,AEDABC,此時(shí)AE=ABADAC=625=125;當(dāng)ADAE=ABAC時(shí),A=A,ADEABC,此時(shí)AE=ACADAB=526=53.故答案為125或53.13.154或307解析 在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,AB=62+82=10.當(dāng)QPBC時(shí),QPAC,ABAC=QBQP.顯然,若APQ是等腰三角形,則必是QP=AQ.設(shè)QP=AQ=x,則QB=10-x,106=10-xx.AQ=x=154.當(dāng)PQAB時(shí),APQ是等腰直角三角形,PQ=AQ.ABCPBQ,ACBC=PQBQ.68=AQ10-AQ.AQ=307.14.解:(1)證明:四邊形EGHF為正方形,BCEF,AEFABC.(2)設(shè)正方形零件的邊長為a.在正方形EFHG中,EFBC.ADBC,AKEF.AEFABC,a120=80-a80,解得a=48,正方形零件的邊長為48 mm.(3)設(shè)EG=x,矩形EGHF的面積為y.AEFABC,EF120=80-x80,EF=32(80-x),y=32(80-x)x=-32(x-40)2+2400,當(dāng)x=40時(shí),y最大,且最大值為2400,矩形EGHF的最大面積為2400 mm2.15.解:(1)由“準(zhǔn)互余三角形”定義可知,若ABC是“準(zhǔn)互余三角形”,C>90,則有2A+B=90或2B+A=90,又A=60,代入2A+B=90不成立,所以代入2B+A=90,可得B=15.(2)存在,BE=95.點(diǎn)E在BC邊上,AEB>90.2BAE+B=90或2B+BAE=90.點(diǎn)E異于點(diǎn)D,2BAE+B=90不成立.由圖可知,在RtABC中,可得BAE+EAC+B=90.又由“準(zhǔn)互余三角形”定義可知,2B+BAE=90,B=EAC.ABCEAC.ACEC=BCAC.AC=4,BC=5,EC=165.BE=BC-EC=95.(3)ABC=ABD+CBD=2BCD+CBD=90+BCD,ABC>90.以下分2種情況進(jìn)行討論:ABC為“準(zhǔn)互余三角形”,BAC+2ACB=90.設(shè)ACD=x,ACB=y,則可得BAC=90-2y,ABD=2x+2y.AEB=90-2x.又在CDE中,CED=90-x,由90-2x=90-x,得x=0,與構(gòu)成四邊形矛盾,舍去.若2BAC+ACB=90,設(shè)BAC=x,則ACB=90-2x.ABC=90+x,如圖,過點(diǎn)B作BEAB,交AC于點(diǎn)E,則ABC=90+CBE.CBE=BAC.CBECAB,CBCA=CECB,即CB2=CECA.由ABD=2BCD,易得BAC=BCD,則BAEDCB.設(shè)AE=7a,則CB=12a.由CEBC=BCAC=BEAB,得CE=9a,BE=214.由勾股定理,得AE=354=7a.解得a=54.AC=16a=20.