第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 最新考綱展示 1以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間垂直關(guān)系的簡單命題 一、直線與平面垂直 1定義：如果直線l與平面內(nèi)的 直線都垂直，則直線l與平面垂直 2判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條 直線都垂直，則該直線與此平面垂直 3推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面 4直線和平面垂直的性質(zhì) (1)垂直于同一個平面的兩條直線 (2)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi) 直線 (3)垂直于同一條直線的兩平面 任意一條相交平行任意平行 二、二面角的有關(guān)概念 1二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫作二面角 2二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作 的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角 三、平面與平面垂直 1定義：如果兩個平面所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直 2判定定理：一個平面過另一個平面的 ，則這兩個平面垂直 3性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi) 的直線與另一個平面垂直兩個半平面垂直于棱直二面角垂線垂直于交線 四、直線和平面所成的角 1平面的一條斜線和它在 所成的銳角叫作這條直線和這個平面所成的角 2當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為 .平面上的射影90和0 1直線與平面垂直的定義常常逆用，即a，bab. 2若平行直線中一條垂直于平面，則另一條也垂直于該平面 3垂直于同一條直線的兩個平面平行 4過一點有且只有一條直線與已知平面垂直 5過一點有且只有一個平面與已知直線垂直 6兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形 7由平面和平面垂直的判定定理可知，要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直 8平面和平面垂直的判定定理的兩個條件：l，l，缺一不可 一、直線與直線垂直 1設(shè)a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則“l(fā)a，且lb”是“l(fā)”的() A充要條件B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 解析：由線面垂直的判定定理知，充分性不成立，由線面垂直的性質(zhì)定理知，必要性成立，故選C. 答案：C 2已知直線a，b和平面，且ab，a，則b與的位置關(guān)系為() Ab Bb Cb或b Db與相交 解析：由ab，a知b或b，但直線b不與相交 答案：C 二、平面與平面垂直 3判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.() (2)垂直于同一個平面的兩平面平行() (3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行() (4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.() 答案：(1)(2)(3)(4) 4在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，下面四個結(jié)論中不正確的是() ABC平面AGF BEG平面ABF C平面AEF平面BCD D平面ABF平面BCD 解析：易知點A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF平面BCD錯誤，選C. 答案：C (1)求證：ADC1E； (2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60時，求三棱錐C1 A1B1E的體積直線與平面垂直的判定與性質(zhì)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)(師生共研師生共研) 解析(1)證明：因為ABAC，D是BC的中點，所以ADBC. 又在直三棱柱ABC A1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，所以ADBB1. 由，得AD平面BB1C1C. 由點E在棱BB1上運動，得C1E平面BB1C1C，所以ADC1E. (2)因為ACA1C1，所以A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題設(shè)，A1C1E60. 因為B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1，又AA1A1C1，從而 A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E. 規(guī)律方法(1)解答此類問題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ) (2)由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點的技巧所在 1(2014年保定調(diào)研)如圖所示，已知三棱錐A BPC中，ACBC，APPC，M為AB的中點，D為PB的中點，且PMB為正三角形的 (1)求證：BC平面APC； (2)若BC3，AB10，求點B到平面DCM的距離 解析：(1)PMB為正三角形， 且D為PB的中點，MDPB. 又M為AB的中點，D為PB的中點， MDAP，APPB. 又已知APPC，AP平面PBC， APBC，又ACBC，ACAPA， BC平面APC. 例2如圖，在四棱錐P ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分別是CD和PC的中點求證： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.平面與平面垂直的判定及性質(zhì)平面與平面垂直的判定及性質(zhì)(師生共研師生共研) 證明(1)因為平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA底面ABCD. (2)因為ABCD，CD2AB，E為CD的中點， 所以ABDE，且ABDE. 所以ABED為平行四邊形 所以BEAD. 又因為BE 平面PAD，AD平面PAD， 所以BE平面PAD. (3)因為ABAD，而且ABED為平行四邊形， 所以BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD. 所以PACD. 所以CD平面PAD. 所以CDPD. 因為E和F分別是CD和PC的中點， 所以PDEF， 所以CDEF，又COBE，BEEFE， 所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD. 規(guī)律方法(1)兩個平面互相垂直是兩個平面相交的特殊情形 (2)由平面和平面垂直的判定定理可知，要證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為從現(xiàn)有直線中尋找平面的垂線，即證明線面垂直 (3)平面和平面垂直的判定定理的兩個條件：l，l，缺一不可 2如圖，四棱錐P ABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點 (1)求證：CE平面PAD； (2)求證：平面EFG平面EMN. 因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點， 所以EFPA. 又EF 平面PAD， 所以EF平面PAD. 因為CFEFF， 故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF， 所以CE平面PAD. (2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點， 所以EFPA. 又ABPA， 所以ABEF. 同理可證ABFG. 又EFFGF，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG， 因此AB平面EFG. 又M，N分別為PD，PC的中點， 所以MNCD. 又ABCD， 所以MNAB. 因此MN平面EFG. 又MN平面EMN， 所以平面EFGEMN. 考情分析空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點，歸納起來常見的命題角度有： (1)以多面體為載體綜合考查平行與垂直的證明 (2)探索性問題中的平行與垂直問題 (3)折疊問題中的平行與垂直問題平行與垂直的綜合問題平行與垂直的綜合問題(高頻研析高頻研析) 角度一平行與垂直關(guān)系的證明 1.(2014年高考湖北卷)如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點求證： (1)直線BC1平面EFPQ； (2)直線AC1平面PQMN. 證明：(1)連接AD1，由ABCD A1B1C1D1是正方體，知AD1BC1，因為F，P分別是AD，DD1的中點，所以FPAD1. 從而BC1FP. 而FP平面EFPQ，且BC1 平面EFPQ， 故直線BC1平面EFPQ. (2)如圖，連接AC，BD，則ACBD. 由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD. 又ACCC1C，所以BD平面ACC1. 而AC1平面ACC1，所以BDAC1. 因為M，N分別是A1B1，A1D1的中點，所以MNBD，從而MNAC1. 同理可證PNAC1.又PNMNN， 所以直線AC1平面PQMN. 角度二探索性問題中的平行與垂直問題 2.如圖，直三棱柱ABC A1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，M，N分別為AC，B1C1的中點 (1)求線段MN的長； (2)求證：MN平面ABB1A1； (3)線段CC1上是否存在點Q，使A1B平面MNQ？說明理由 (3)線段CC1上存在點Q，且Q為CC1中點時，有A1B平面MNQ 證明如下：連接BC1. 在正方形BB1C1C中易證QNBC1. 又A1C1平面BB1C1C，所以A1C1QN，從而NQ平面A1BC1. 所以A1BQN. 同理可得A1BMQ，所以A1B平面MNQ. 故線段CC1存在點Q，使得A1B平面MNQ. 角度三折疊問題中的平行與垂直關(guān)系 3(2014年高考廣東卷)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.按圖(2)折疊：折痕EFDC，其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF. (1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐M CDE的體積 規(guī)律方法平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的處理策略： (1)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點 (2)折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系，尤其是隱含量的垂直關(guān)系.