第第8講講函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用最新考綱最新考綱1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)；2.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實(shí)例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；3.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.知 識 梳 理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于函數(shù)yf(x)，把使_的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與_有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有_.(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)滿足：在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；_；則函數(shù)yf(x)在(a，b)上存在零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根.f(x)0 x軸零點(diǎn)f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000)的圖象與x軸的交點(diǎn)_無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)210(x1，0)，(x2，0)(x1，0)kxb(k0)4.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較 函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)_單調(diào)_單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)xx0時，有l(wèi)ogaxxnax遞增遞增y軸x軸診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) 精彩PPT展示(1)函數(shù)f(x)lg x的零點(diǎn)是(1，0).()(2)圖象連續(xù)的函數(shù)yf(x)(xD)在區(qū)間(a，b)D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)0.()(3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點(diǎn).()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x).()解析(1)f(x)lg x的零點(diǎn)是1，故(1)錯.(2)f(a)f(b)0是連續(xù)函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件，故(2)錯.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點(diǎn)個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3答案B3.(2015安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21解析由函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B、C，又選項(xiàng)D中函數(shù)沒有零點(diǎn)，排除D，ycos x為偶函數(shù)且有零點(diǎn).答案A4.已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為yalog3(x1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到()A.100只 B.200只 C.300只 D.400只解析由題意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當(dāng)x8時，y100log39200.答案B考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷【例1】 (1)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，)內(nèi) D.(，a)和(c，)內(nèi)(2)設(shè)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點(diǎn)；因此函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.(2)法一函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍.作圖如下：可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2).法二易知f(x)ln xx2在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)1210.所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間(1，2)內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn).答案(1)A(2)B規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.答案C答案(1)2(2)B規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)0，有幾個解就有幾個零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)m時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個不同的根，則有4mm20.又m0，解得m3.答案(1)D(2)(3，)考點(diǎn)四構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題(易錯警示)【例4】 (1)(2016四川卷)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B B.2019年C.2020年 D.2021年求k的值及f(x)的表達(dá)式；隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小？并求最小值.答案B(2)解函數(shù)應(yīng)用題的程序是：審題；建模；解模；還原.易錯警示求解過程中不要忽視實(shí)際問題是對自變量的限制.【訓(xùn)練4】 (1)(2017成都調(diào)研)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時.寫出2017年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：萬人)與x的函數(shù)關(guān)系式；試問2017年第幾個月旅游消費(fèi)總額最大？最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？答案24思想方法1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的常用方法(1)通過解方程來判斷.(2)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷.(3)將函數(shù)yf(x)g(x)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)來判斷.3.求解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.易錯防范1.函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)0的實(shí)根.2.函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件.3.函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯誤.所以，要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.并根據(jù)實(shí)際問題，合理確定函數(shù)的定義域.4.注意問題反饋.在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個數(shù)學(xué)結(jié)果對實(shí)際問題的合理性.