第第2講講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想1分類討論思想分類討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度 分類討論的常見(jiàn)類型： (1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等 (2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等 (3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負(fù)，對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程(不等式)的運(yùn)算與根的大小比較，含參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同等 (4)由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關(guān)系需討論，如二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等 分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，已成為高考的熱點(diǎn)，考查的重點(diǎn)是含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式(方程)問(wèn)題，與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算推理，點(diǎn)、線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問(wèn)題等2轉(zhuǎn)化與化歸思想化歸與轉(zhuǎn)化是指在處理問(wèn)題時(shí)，把待解決或難解決的問(wèn)題通過(guò)某種方式轉(zhuǎn)化為一類已解決或比較容易解決的問(wèn)題的一種思想方法，它是研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換在實(shí)際解題過(guò)程中，實(shí)施化歸與轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循以下五項(xiàng)基本原則：(1)化繁為簡(jiǎn)的原則；(2)化生為熟的原則；(3)等價(jià)性原則；(4)正難則反原則；(5)形象具體化原則 歷年高考中，化歸與轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不在，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧. 探究提高 (1)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，必需進(jìn)行討論由數(shù)學(xué)定義引發(fā)的分類討論一般由概念內(nèi)涵所決定，解決這類問(wèn)題要求熟練掌握并理解概念的內(nèi)涵與外延(2)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有時(shí)需對(duì)不同的情況作出解釋，就需要進(jìn)行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等 探究提高 (1)本題中直角頂點(diǎn)的位置不定，影響邊長(zhǎng)關(guān)系，需按直角頂點(diǎn)不同的位置進(jìn)行討論(2)涉及幾何問(wèn)題時(shí)，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論微題型3由定理、性質(zhì)、公式等引起的分類討論【例13】 已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 探究提高 (1)利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，需要分公比q1和q1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)Q定的一般地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式時(shí)要小心，根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論 (2)由性質(zhì)、定理、公式等引起的討論，主要是應(yīng)用的范圍受限時(shí)，存在多種可能性微題型4由字母參數(shù)引起的分類討論【例14】 已知函數(shù)f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 探究提高一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏【訓(xùn)練1】 (2014洛陽(yáng)統(tǒng)一考試)已知圓心為F1的圓的方程為(x2)2y232，F(xiàn)2(2,0)，C是圓F1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)N(0,2)，過(guò)點(diǎn)P(1，2)作直線l，交M的軌跡于不同于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1k2為定值 答案3 規(guī)律方法用特殊化法實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化是在解決問(wèn)題過(guò)程中將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理的方法常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等對(duì)于選擇題，當(dāng)題設(shè)在普通條件下都成立時(shí)，用特殊值進(jìn)行探求，可快捷地得到答案；對(duì)于填空題，當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案微題型2換元轉(zhuǎn)化問(wèn)題【例22】 已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)()A5B.1 C3D.4答案C 規(guī)律方法復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題常用換元法實(shí)現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，或者把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題微題型3常量與變量的轉(zhuǎn)化【例23】 對(duì)于滿足0p4的所有實(shí)數(shù)p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_答案(，1)(3，) 探究提高在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù))，將其看做是“主元”，而把其它變?cè)醋鍪浅Ａ?，從而達(dá)到減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立 規(guī)律方法否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補(bǔ)集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中 證明(1)連接A1B，設(shè)A1B與AB1交于E，連接DE. 點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是A1B中點(diǎn)， DEA1C， 又A1C 平面AB1D， DE平面AB1D， A1C平面AB1D. (2)ABC是正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)， ADBC. 平面ABC平面B1BCC1， 平面ABC平面B1BCC1BC，AD平面ABC， AD平面B1BCC1， BC1平面B1BCC1，ADBC1.1分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問(wèn)題的操作過(guò)程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)逐類進(jìn)行討論歸納綜合結(jié)論檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集)做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論 常見(jiàn)的分類討論問(wèn)題有： (1)集合：注意集合中空集 的討論 (2)函數(shù)：對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a1和0a1的討論；函數(shù)yax2bxc有時(shí)候分a0和a0的討論；對(duì)稱軸位置的討論；判別式的討論 (3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論 (4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論 (5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論 (6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論；平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k存在和不存在，直線截距式中b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論 (7)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等2常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題(2)換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑 (4)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到化歸的目的 (5)特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題、結(jié)論適合原問(wèn)題 (6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題 (7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑 (8)類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定 (9)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進(jìn)行解決 (10)補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集UA獲得原問(wèn)題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.