專題32 填空題的解法填空題的解法填空題的解法填空題的解法思 想 方 法 概 述熱 點(diǎn) 分 類 突 破真 題 與 押 題題型特點(diǎn)概述 填空題的解法1.填空題的特征填空題的特征填空題是不要求寫出計(jì)算或推理過(guò)程，只需要將結(jié)填空題是不要求寫出計(jì)算或推理過(guò)程，只需要將結(jié)論直接寫出的論直接寫出的“求解題求解題”.”.填空題與選擇題也有質(zhì)填空題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)的區(qū)別：第一，填空題沒(méi)有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題或斷第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容言中，抽出其中的一些內(nèi)容(既可以是條件，也可既可以是條件，也可以是結(jié)論以是結(jié)論)，留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方，留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活法比較靈活.從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不是很高，因從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不是很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式為填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在因此，解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過(guò)程，因此要想體的推理、計(jì)算過(guò)程，因此要想“快速快速”解答填空題，解答填空題，則千萬(wàn)不可則千萬(wàn)不可“小題大做小題大做”，而要達(dá)到，而要達(dá)到“準(zhǔn)確準(zhǔn)確”，則必，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧巧”字上下功夫字上下功?2.解填空題的基本原則解填空題的基本原則解填空題的基本原則是解填空題的基本原則是“小題不能大做小題不能大做”，基本策，基本策略是略是“巧做巧做”.”.解填空題的常用方法：直接法、特解填空題的常用方法：直接法、特例法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、歸納推理法等例法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、歸納推理法等.方法四構(gòu)造法方法一直接法方法二特例法方法三數(shù)形結(jié)合法(圖解法)方法五歸納推理法目錄頁(yè)方法一直接法直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，得出正確結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本得出正確結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法質(zhì)，自覺(jué)地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法.8所以所以F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，因?yàn)闄E圓因?yàn)闄E圓C上點(diǎn)上點(diǎn)A滿足滿足AF2F1F2，設(shè)設(shè)P(x1，y1)，因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，上的動(dòng)點(diǎn)，思 維 升 華直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過(guò)直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過(guò)程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問(wèn)題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將問(wèn)題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵空題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1 已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)za(a1)i(aR，i為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位)為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_.解析因?yàn)閺?fù)數(shù)因?yàn)閺?fù)數(shù)za(a1)i(aR，i為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位)為為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)，所以所以a10，解得，解得a1.所以復(fù)數(shù)所以復(fù)數(shù)z1，所以，所以zii.所以復(fù)數(shù)所以復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1).(0,1)方法二特例法當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值合條件的恰當(dāng)特殊值(或特殊函數(shù)，或特殊角，特或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論.這樣可大這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程.方法二把平行四邊形方法二把平行四邊形ABCD看成正方形，看成正方形，答案18思 維 升 華求值或比較大小等問(wèn)題的求解均可利用特殊值代入求值或比較大小等問(wèn)題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問(wèn)題或者有多種答案的填空填空題，對(duì)于開放性的問(wèn)題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解題，則不能使用該種方法求解.本題中的方法二把本題中的方法二把平行四邊形看作正方形，從而減少了計(jì)算量平行四邊形看作正方形，從而減少了計(jì)算量.(2)cos2cos2(120)cos2(240)的值為的值為_.方法三數(shù)形結(jié)合法(圖解法)對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作以形助數(shù)，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果，出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形等，都是常用的圖形.解析函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象如圖，的圖象如圖，1，)圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空?qǐng)D解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn)可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn).準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果.思 維 升 華解析作不等式組表示的平面區(qū)域，作不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示如圖所示(OAB及其內(nèi)部及其內(nèi)部)，方法四構(gòu)造法構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來(lái)源于對(duì)基使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來(lái)源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過(guò)進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過(guò)的類似問(wèn)題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、的類似問(wèn)題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題快速解決幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題快速解決.例4(1)如圖，已知球如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA平面平面ABC，ABBC，DAABBC ，則球則球O的體積等于的體積等于_.解析如圖，以如圖，以DA，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，正方體，設(shè)正方體的外接球球設(shè)正方體的外接球球O的半徑為的半徑為R，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑，的直徑，令令f(x)0得得x2，即函數(shù)即函數(shù)f(x)在在(2，)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問(wèn)題確定構(gòu)造的方向，要根據(jù)已知條件和所要解決的問(wèn)題確定構(gòu)造的方向，通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而通過(guò)構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問(wèn)題.第第(1)題巧妙地構(gòu)造出正方體，題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線，問(wèn)題很容易得而球的直徑恰好為正方體的體對(duì)角線，問(wèn)題很容易得到解決到解決.思 維 升 華當(dāng)當(dāng)0 x0，即函數(shù)即函數(shù)f(x)在在(0,1)上是增函數(shù)上是增函數(shù).答案abc(2)已知已知a、b為不垂直的異面直線，為不垂直的異面直線，是一個(gè)平面，是一個(gè)平面，則則a、b在在上的投影有可能是：上的投影有可能是：兩條平行直線；兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；同一條直線；一條直一條直線及其外一點(diǎn)線及其外一點(diǎn).在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是_(寫寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).解析用正方體用正方體ABCDA1B1C1D1實(shí)例實(shí)例說(shuō)明說(shuō)明A1D1與與BC1在平面在平面ABCD上的投影互上的投影互相平行，相平行，AB1與與BC1在平面在平面ABCD上的投影互相垂直，上的投影互相垂直，BC1與與DD1在平面在平面ABCD上的投影是一條直線及其上的投影是一條直線及其外一點(diǎn)外一點(diǎn).故故正確正確.答案方法五歸納推理法做關(guān)于歸納推理的填空題的時(shí)候，一般是由題目的做關(guān)于歸納推理的填空題的時(shí)候，一般是由題目的已知可以得出幾個(gè)結(jié)論已知可以得出幾個(gè)結(jié)論(或直接給出了幾個(gè)結(jié)論或直接給出了幾個(gè)結(jié)論)，然后根據(jù)這幾個(gè)結(jié)論可以歸納出一個(gè)更一般性的結(jié)然后根據(jù)這幾個(gè)結(jié)論可以歸納出一個(gè)更一般性的結(jié)論，再利用這個(gè)一般性的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題論，再利用這個(gè)一般性的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題.歸納推歸納推理是從個(gè)別或特殊認(rèn)識(shí)到一般性認(rèn)識(shí)的推演過(guò)程，理是從個(gè)別或特殊認(rèn)識(shí)到一般性認(rèn)識(shí)的推演過(guò)程，這里可以大膽地猜想這里可以大膽地猜想.例5觀察下列算式：觀察下列算式：131,2335,337911,4313151719，若某數(shù)，若某數(shù)m3按上述規(guī)律按上述規(guī)律展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有展開后，發(fā)現(xiàn)等式右邊含有“2 015”這個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)，則m_.解析由題意可得第由題意可得第n個(gè)算式的左邊是個(gè)算式的左邊是n3，右邊是，右邊是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，設(shè)第設(shè)第n個(gè)算式的第一個(gè)數(shù)為個(gè)算式的第一個(gè)數(shù)為an，則有則有a2a1312，a3a2734，anan12(n1)，故故ann2n1，可得，可得a451 981，a462 071，故可知故可知2 015在在453的展開式中，故的展開式中，故m45.答案45歸納推理主要用于與自然數(shù)有關(guān)的等式或不等式的歸納推理主要用于與自然數(shù)有關(guān)的等式或不等式的問(wèn)題中，一般在數(shù)列的推理中常涉及問(wèn)題中，一般在數(shù)列的推理中常涉及.即通過(guò)前幾即通過(guò)前幾個(gè)等式或不等式出發(fā)，找出其規(guī)律，即找出一般的個(gè)等式或不等式出發(fā)，找出其規(guī)律，即找出一般的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一般的有平方關(guān)系、立項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一般的有平方關(guān)系、立方關(guān)系、指數(shù)變化關(guān)系或兩個(gè)相鄰的自然數(shù)或奇數(shù)方關(guān)系、指數(shù)變化關(guān)系或兩個(gè)相鄰的自然數(shù)或奇數(shù)相乘基本關(guān)系，需要對(duì)相應(yīng)的數(shù)字的規(guī)律進(jìn)行觀察、相乘基本關(guān)系，需要對(duì)相應(yīng)的數(shù)字的規(guī)律進(jìn)行觀察、歸納，一般對(duì)等式或不等式中的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)保持一致歸納，一般對(duì)等式或不等式中的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)保持一致.思 維 升 華解析由由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測(cè)：，可以推測(cè)：1 1001001 000.答案1 000(2)用火柴棒擺用火柴棒擺“金魚金魚”，如圖所示：，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第按照上面的規(guī)律，第n個(gè)個(gè)“金魚金魚”圖需要火柴棒的圖需要火柴棒的根數(shù)為根數(shù)為_.解析觀察題圖觀察題圖，共有，共有8根火柴，以后依次增加根火柴，以后依次增加6根火柴，根火柴，即構(gòu)成首項(xiàng)為即構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差為，公差為6的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，所以，第所以，第n個(gè)個(gè)“金魚金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為圖需要火柴棒的根數(shù)為6n2.答案6n21.解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對(duì)于解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對(duì)于帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法.解題時(shí)，常常解題時(shí)，常常需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果.規(guī)律方法總結(jié)2.解填空題不要求求解過(guò)程，從而結(jié)論是判斷是否解填空題不要求求解過(guò)程，從而結(jié)論是判斷是否正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空題時(shí)要注意如下幾個(gè)正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空題時(shí)要注意如下幾個(gè)方面：方面：(1)要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確；有據(jù)、準(zhǔn)確；(2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論；要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論；(3)要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn)及書寫的規(guī)范性要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn)及書寫的規(guī)范性.