第3講平面向量的數(shù)量積最新考綱 1 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān) 系由淺入採(cǎi)夯基固牛診斷-基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)梳理1. 平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量 a與b,它們的夾角為9,貝擻量|a|b|cos 9叫作a 與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b,即a b= |a|b|cos 9,規(guī)定零向量與任一向量的 數(shù)量積為0,即0a= 0.(2) 幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 9的乘 積.2. 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a= (xi, yi), b= (x2, y2), 9為向量a, b的夾角.(1) 數(shù)量積：a b= |a|b|cos 9= xix2 + yiy2.(2) 模：|a|= a a= .x2+ y2.夾角：cos 9=器二聲井牛2.|a|b| >/xi + yi px2+ y2(4) 兩非零向量a丄b的充要條件：a b= 0? xix2 + yiy2= 0.(5) |a b|w|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng) a/ b時(shí)等號(hào)成立)? |xix2 + yiy2|< . x2+ yi - x2 + y2.3. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) a b= b a(交換律).(2) 淪 b= Xa b) = a (?b)(結(jié)合律).(3) (a+ b) c= a c+ b c(分配律).辨析感悟1. 對(duì)平面向量的數(shù)量積的認(rèn)識(shí)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量.(x )(2013 湖北卷改編)已知點(diǎn) A( 1,1), B(1,2), C( 2, 1), D(3,4)，則向量 AB 在CD方向上的投影為一3J2.(X)若ab> 0,則a和b的夾角為銳角；若abv 0,則a和b的夾角為鈍角.(x)2. 對(duì)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的理解(4) ab= 0,貝U a = 0 或 b= 0.(x )(5) (a b) c= a (b c). (x)(6) a b= a c(a0),則 b= c.(x )感悟提升三個(gè)防范一是兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，如(1);二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量.設(shè)向量 a, b的 夾角為9,當(dāng)B為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)B為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)B為直 角時(shí)，投影為0;當(dāng)9= 0°寸，b在a的方向上投影為|b|,當(dāng) A180°時(shí)，b在a 方向上投影為一|b|,叭2)；當(dāng) 9= 0°寸，a b>0, 9= 180° a bv0, 即卩 a b>0 是兩個(gè)向量a, b夾角為銳角的必要而不充分條件，如(3);三是a b= 0不能推出a= 0或b= 0,因?yàn)閍 b= 0時(shí)，有可能alb,女口 (4).突破高頻考點(diǎn)以侃求法舉一反三考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【例1】(1)(2014威海期末考試)已知a= (1,2), 2a b= (3,1),則a b=().A. 2 B. 3 C. 4 D. 5n(2013江西卷)設(shè)e1, e2為單位向量，且 &, e2的夾角為3 若a= 3 + 3e2, b=2ei,則向量a在b方向上的射影為.解析 (1)* (1,2), 2a b= (3,1)b= 2a (3,1)= 2(1,2) (3,1)= ( 1,3).a b= (1,2) ( 1,3)= 1 + 2X3 = 5.(2)由于 a= e1 + 3e2, b= 2e1,2所以 |b| = 2, a b= (e1 + 3e2) 2e1 = 2ei+ 6e1 e21=2+ 6X 2= 5,a b 5所以a在b方向上的射影為|a| cos<a, b>=而=g5答案(1)D(2)5學(xué)生用書第74頁規(guī)律方法 求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算； 利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意 數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.【訓(xùn)練 1】(1)若向量 a= (1,1), b= (2,5), c= (3, x)滿足條件(8a b) c= 30,則 x=().A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (2013山東卷)已知向量AB與AC的夾角為120°,且AB| = 3, |AC|= 2.若AP= :AB + AC,且APIBC,則實(shí)數(shù) 入的值為.解析 (1)8a b= 8(1,1) (2,5)= (6,3),所以(8a b) c= (6,3) (3, x) = 30,即18+ 3x= 30,解得x= 4.故選C. (2).AP!BC,.AP BC= 0, (4B + AC) BC = 0, 即 (:AB+ AC) (AC AB)=(入一1)AB AC- 2AB已知向量 a, b滿足 a b= 0, |a|= 1, |b|= 2，則 |2a b| =.解析(1)等式平方得|a|2= 9|b|2 2=|a|2+ 4|b|2 + 4a b,則 |a|2= |a|2+ 4|b|2 + 4|a|b|cos 9,即 0 = 4|b|2 + 4 3|b|2cos 9,e1得 cos 9= 3.(2)因?yàn)?|2a bf = (2a b)2 = 4孑 + b2 4a b= 4孑 + b2= 4+ 4= 8,故 |2a b| = 2 2. 答案(1) 3(2)2 2規(guī)律方法(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式.|a|= a a常用來求向量的模.【訓(xùn)練2】(1)(2014長(zhǎng)沙模擬)已知向量a,b夾角為45°,且|a|= 1,|2a b|= . 10,則 |b| =.(2)若平面向量a, b滿足|a|= 1, |b|< 1,且以向量a, b為鄰邊的平行四邊形的面1積為2,則a和b的夾角9的取值范圍是.解析(1 )由|2a b|=. 10平方得，+ AC2= 0. 向量AB與AC的夾角為 120° AB| = 3, AC|= 2, g 1)|AB|AC| cos 120-9A+ 4= 0,解得 A話.答案(1)C右考點(diǎn)二向量的夾角與向量的?！纠?】(1)若非零向量a, b滿足|a匸3|b|=|a + 2b|,則a與b夾角的余弦值為2 24a 4a b+ b = 10,即 |b|24|b|cos 45 +4= 10,亦即 |bf 2 ,2|b| 6= 0,解得 |b| = 3 ,2或 |b|= .2(舍去).1(2)依題意有|a|b|sin 9=，1即 sin = 2jb|，由bS 1，得12< sin 0< 1,又 OS (X n答案（1）3/2 （2）n，5nn考點(diǎn)三平面向量的垂直問題【例 3】 已知 a= （cos a, sin a, b= （cos B, sin 3（0<0<仟冗）（1）求證：a+ b與a b互相垂直；若ka+ b與a kb的模相等，求p- a其中k為非零實(shí)數(shù)）.數(shù)量積審題路線 證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問題,為零即得證？由模相等，列等式、化簡(jiǎn)求p a(1) 證明I (a+ b) ( b) = a2 b2= |a|2 |b|2=(cos a+ sin2 M (cos2 p+ sin2 p= 0, a+ b與a b互相垂直.(2) 解 ka+ b= (kcos a+ cos B ksin a+ sin B ,a kb= (cos a kcos B sin a ksin p,|ka+ b|= . k2 + 2kcos p a + 1,|a kb| =.；： 1 2kcos B_ a + k .I |ka+ b|= |a kb| , 2kcos(p M= 2kcos( f a). 又 kM 0, cos( p a= 0.n T 0< a< n,二 0< p a n,p a=空.規(guī)律方法(1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明a丄b,則只需證明a b=0? X1X2 + yiy2 = 0.(2)當(dāng)向量a, b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ), b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明a b= 0.數(shù)量積的運(yùn)算a b= 0? a丄b中，是對(duì)非零向量而言的，若a= 0,雖然有a b=0,但不能說a丄b.【訓(xùn)練3】 已知平面向量a= ( 3, 1), b=(1) 證明：a丄b；(2) 若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù) k和t，使c= a+ (t2 3)b, d= ka + tb,且c丄d, 試求函數(shù)關(guān)系式k= f(t).13(1)證明 ta b= 3x2 1X_2 = 0,二 a丄b.解 t c= a+ (t2 3)b, d= ka + tb, 且 c±d,2 c d= a+ (t2 3)b ( ka+1b) =ka2 + t(t2 3)b2+ t k(t2 3) a b= 0.又 a2= |a|2 = 4, b2= |b|2= 1, a b= 0, c d= 4k+13 3t = 0,t3 3t -k= f(t)=4 (tz 0).|課堂小結(jié)|1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用， 和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.2求向量模的常用方法：利用公式|aj a2,將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.3 利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.學(xué)生用書第75頁培養(yǎng)*解題能力我禰解題提升能力教你審題5數(shù)量積的計(jì)算問題【典例】(2012上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB, AD的長(zhǎng)分別為2,1若M , N 分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且滿足回歲=呼，則AM AN的取值范圍是.|BC| |CD|審題一審：抓住題眼“矩形ABCD” ;二審：合理建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.解析如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(2,0),C(2,1), D(0,1)， 設(shè)回學(xué)=呼=k(0<k< 1),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2, k),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2-2k,1),|BC| |CD| 則AM= (2, k), AN= (2-2k,1), AM AN = 2(2-2k) + k=4-3k,而 0< k< 1,故1< 4-3k< 4.答案1,4反思感悟在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何中的問題時(shí)，首先要想到是否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會(huì)容易的多.【自主體驗(yàn)】(2012江蘇卷)如圖，在矩形 ABCD中，AB=迄，BC= 2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn), 點(diǎn)F在邊CD上，若AB AF = -.2,則AE BF的值是c解析 法一 以A為原點(diǎn)，AB, AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐 標(biāo)系，貝U A(0,0)，B( ,2，0)，E( ,2，1)，F(xiàn)(x,2)，/AF= (x,2), AB= ( , 2，0)，AE =(2, 1), BF = (x- 2, 2),/AB AF = 2x= .2,解得 x= 1 ,.F(1,2),AE BF =2. 法二 AB AF = AB|AF|cos/BAF= . 2, |AF|cosZBAF = 1, 即卩 |DF|= 1,/.|CF|= 2- 1, AE BF= (AB+ BE) (BC + CF) = AB BC + AB CF + BE BC + BE CF = AB CF + BE BC = 2 X ( 2- 1)X ( 1) +1 X 2X 1= 2.答案 2課時(shí)-題組訓(xùn)練階梆訓(xùn)餘練出高分基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1. (2013 湛江二模)向量 a= (1,2), b= (0,2)，則 a b=().B. (0,4)C. 4D. (1,4)解析ab= (1,2) (0,2) = 1X 0+ 2X 2 = 4.答案 C2. (2014紹興質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，/ BAD= 120° MAC在AB方向答案C,AC在AB方向上的投影為 |AC|cos 60 =2X1.3. (2013 山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知向量a= ( 3, 1), b= (0,1), c= (k,3).若a + 2b與c垂直，則k =().A. - 3 B . - 2 C. 1 D . 1解析 由題意知(a+ 2b) c= 0, 即卩a c+ 2b c= 0.所以，3k + 3 + 2 3 = 0,解得 k= 3.答案 A4. (2014浙江五校聯(lián)盟)若非零向量a,b滿足|a| = |b|,且(2a + b) b= 0,則向量a, b的夾角為().2 n n n 5 n乞 B.6 C.3 de解析由(2a+ b) b= 0，得 2a b+ |b|2= 0.2|bf cos<a, b>+ |b|2= 0,cos<a, b>=舟，廠2n又<a, b>q0 , n.<a, b>=.答案 A5. (2013福建卷)在四邊形ABCD中，AC= (1,2), BD = ( 4,2)，則該四邊形的面積為()A. 5 B. 2 5C. 5 D. 10解析AC BD = 1 X ( 4)+ 2 X 2 = 0,/ACJBD,S四邊形=呼塵5.答案 C二、填空題6. (2013新課標(biāo)全國(guó)I卷)已知兩個(gè)單位向量a, b的夾角為60° c= ta+ (1 t)b.若 b c= 0,貝U t =.解析 b c= b ta+ (1 t)b = ta b+ (1 t)b2=t|a|b|cos 60 + (1 t)|b|2tt=2+ 1 1 = 1 2 由 b c= 0,得 1 2 = 0,所以 t = 2.答案2 7. (2014南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知OA= (3, 1), OB= (0,2).若 OC AB= 0, AC=QB,則實(shí)數(shù) 入的值為. 解析 設(shè) C(x, y),則 OC= (x, y)，又AB = OB OA= (0,2) (3, 1) = ( 3,3), 所以 OC AB = 3x + 3y = 0 ,解得 x = y.又 AC = (x 3, y + 1) = %0,2)，得x 3= 0,結(jié)合x= y,解得X= 2.Iy+1 = 2 人答案28. (2014濰坊二模)如圖，在 ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB= 1, AC = 3, <AB, AC> = 60° 則|OA| =.* * * * *1 3*解析 因?yàn)?lt;AB, AC> = 60° 所以 ABAC= AB| |AC|cos 60 =1X 3X，又AO2AB+ aC，所以 aO2_4(ab+aC)2_ 2 2 1+ 2ABAC + AC )，即 AO _(1 + 3+ 9)_ 等，所以 |OA_ y3.答案亠P三、解答題9. 已知平面向量 a_(1，x)，b_(2x+ 3，-x)(x R).(1) 若a丄b,求x的值；(2) 若 a/ b，求|a-b|.解(1)若 a丄b，則 a b_ 1 X (2x+ 3) + x(-x) _ 0. 整理得 x2-2x- 3_0，故 x_- 1 或 x_ 3.若 a / b,則有 1X ( x)-x(2x+ 3)_0，即 x(2x+ 4) _ 0，解得 x_ 0 或 x_- 2.當(dāng) x_ 0 時(shí)，a_ (1,0)，b_ (3,0), a-b_ (-2,0),|a b|_，.：' 2 2 + 0_2.當(dāng) x_- 2 時(shí)，a_ (1,- 2), b_ (- 1,2), a-b_ (2,- 4),二 |a- b| _ 2 5.綜上，可知|a- b|_ 2或2 5.10. 已知 |a|_4, |b|_3, (2a- 3b) (2a+ b)_61,(1) 求a與b的夾角9;(2) 求 |a+ b|;-(3) 若AB_a, BC_ 0求厶ABC的面積.解(1)； (2a- 3b) (2a + b)_61, 4|af 4a b-3|b|2_ 61.又|a|_4, |b|_ 3,A 64-4a b-27_61,a b 61a b= 6. cos 0= 刁.|a|b| 4X 322 n又 ow oc n, 0=3.(2)|a+ bf= (a+ b)2= |a|2 + 2a b+ |b|2=42 + 2X (-6) + 32= 13, |a+ b|= , 13.*2 n2 n n t AB與BC的夾角 0= §，/ABC= n- 3.* *又|AB| = |a= 4, |BC| = |b|= 3,1 -* -*i13 Sa ABC =sin/ ABC=X4X 3X2" = 3 3.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1. (2013青島一模)若兩個(gè)非零向量 a, b滿足|a+ b|=|a-b|= 2|a則向量a+ b 與a的夾角為().n n 2 n 5 na6 B3 CE D.$解析 由 |a+ b| = |a- b|,得 a2 + 2a b+ b2 = a2- 2a b+ b2,即卩 a b= 0,所以(a+ b) a =a2 + a b= |af.故向量a+b與a的夾角0的余弦值為(a+b) a |a|21 ncos 0= 9- . = 9.所以 0= Q.|a+ b|a|2|a|a|23答案 B* * * *2. (2014昆明調(diào)研)在厶ABC中，設(shè)AC2-AB2= 2AM BC,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過 ABC的().A .垂心 B .內(nèi)心 C .外心 D.重心 解析 假設(shè) BC 的中點(diǎn)是 O.則AC2 AB2 (AC + AB) (AC AB) 2AO BC 2AM BC,即(AOAM) BC= MO BC = 0,所以MO JBC,所以動(dòng)點(diǎn) M在線段BC的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn) M的軌跡必通過 ABC的外心，選C.答案 C、填空題3. （2013浙江卷）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量 b= xe1 + ye2，x，y R若e1, e2的夾角為n，則1的最大值等于.解析 因?yàn)?& e2 cos f于，所以 b2 x2 + y2 + 2xye1 e2 x2 + y2 + , 3xy.所以px2X + y + 3xy,設(shè) t=X，則 1 +12 + . 3t =t+1 1+4> 4所以0v »3；三4,即話的最大值為4,所以ibi的最大值為2.答案2 三、解答題4. 設(shè)兩向量e1, e2滿足心| = 2,血|= 1, e1, e2的夾角為60°,若向量2te1 + 7e2 與向量e1 + te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解由已知得 e1 = 4, e2 1, e1 e2 2 x 1 x cos 60 丄 1.(2te1 + 7e2) (& + te?) 2teh + (2t2 + 7)e e2+ 7te2 2t2 + 15t+ 7.2 1欲使夾角為鈍角，需2t2 + 15t + 7v0,得7vtv 2.設(shè) 2tei + 7e2= Xei + te2)( X 0),0入2，二 2t2 7.7t入 t一 號(hào)4，此時(shí) 入一14.V14即t牙時(shí)，向量2te1 + 7e2與e1 + te2的夾角為n.二當(dāng)兩向量夾角為鈍角時(shí)，t的取值范圍是12.學(xué)生用書第75頁