三角形與等腰三角形 18三角形與等腰三角形限時:30分鐘夯實基礎1.如圖K18-1所示尺規(guī)作圖,能判斷AD是ABC邊上的高的是()圖K18-12.長度分別為2,7,x的三條線段能組成一個三角形,x的值可以是()A.4B.5C.7D.93.在ABC中,已知A=2B=3C,則三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.形狀無法確定4.如圖K18-2,在ABC中,D為AB上一點,E為BC上一點,且AC=CD=BD=BE,A=50,則CDE的度數(shù)為()A.50B.51C.51.5D.52.5圖K18-25.xx昆明 在AOC中,OB交AC于點D,量角器的擺放如圖K18-3所示,則CDO的度數(shù)為()圖K18-3A.90B.95C.100D.1206.在三角形的三個外角中,銳角最多有個.7.xx吉林 我們規(guī)定:等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”,記作k.若k=12,則該等腰三角形的頂角為度.8.如圖K18-4,AD是ABC的中線,G是AD上的一點,且AG=2GD,連接BG.若SABC=6,則圖中陰影部分的面積是.圖K18-49.如圖K18-5,在ABC中,ADB=100,C=80,BAD=12DAC,BE平分ABC,求BED的度數(shù).圖K18-510.xx嘉興 如圖K18-6,在ABC中,AB=AC,D為AC的中點,DEAB,DFBC,垂足分別為點E,F,且DE=DF.求證:ABC是等邊三角形.圖K18-6能力提升11.三角形的兩邊長分別為2和4,第三邊的長為一元二次方程x2-7x+10=0的一根,則這個三角形的周長為()A.6B.8C.8或11D.1112.如果三角形的三邊a,b,c適合(a2-2ac)(b-a)=c2(a-b),那么a,b,c之間滿足的關系是;有同學分析后判斷ABC是等邊三角形,你的判斷是.13.在同一平面內(nèi),已知點P在等邊三角形ABC外部,且與等邊三角形ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形,則APC的度數(shù)為.14.如圖K18-7,已知BE平分ABD,CF平分ACD,BE與CF相交于點G.若BDC=140,BGC=100,求A的度數(shù).圖K18-715.如圖K18-8,點D在等邊三角形ABC的邊AB上,點F在邊AC上,連接DF并延長,交BC的延長線于點E,FE=FD.求證:AD=CE.圖K18-816.xx哈爾濱 如圖K18-9,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點E,且ACBD,作BFCD,垂足為點F,BF與AC交于點G,BGE=ADE.(1)如圖,求證:AD=CD;(2)如圖,BH是ABE的中線,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中四個三角形,使寫出的每個三角形的面積都等于ADE面積的2倍.圖K18-9拓展練習17.xx義烏 數(shù)學課上,張老師舉了下面的例題:例1在等腰三角形ABC中,A=110,求B的度數(shù).(答案:35)例2在等腰三角形ABC中,A=40,求B的度數(shù).(答案:40或70或100)張老師啟發(fā)同學們進行變式,小敏編了如下一題:變式在等腰三角形ABC中,A=80,求B的度數(shù).(1)請你解答以上的變式題.(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),A的度數(shù)不同,得到B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,設A=x,當B有三個不同的度數(shù)時,請你探索x的取值范圍.參考答案1.B2.C3.C4.D5.B解析 由量角器的擺放可知,BOA=70,COA=130.又OC=OA,A=C=12(180-130)=25.CDO=BOA+A=70+25=95.故選B.6.17.36解析 如圖,在ABC中,AB=AC,設A=,則B=C=12(180-).由k=12,可得12(180-)=2,解得=36.8.29.解:ADB=100,C=80,DAC=ADB-C=100-80=20.BAD=12DAC,BAD=1220=10.在ABD中,ABC=180-ADB-BAD=180-100-10=70.BE平分ABC,ABE=12ABC=1270=35,BED=BAD+ABE=10+35=45.10.證明:AB=AC,B=C.DEAB,DFBC,DEA=DFC=90.D為AC的中點,DA=DC.又DE=DF,RtADERtCDF(HL).A=C.A=B=C.ABC是等邊三角形.11.D12.a=c或a=bABC是等腰三角形13.15或30或60或75或150解析 根據(jù)點P在等邊三角形ABC外部,且與等邊三角形ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形,作出如圖所示圖形,由圖可得:AP1C=15,AP2C=30,AP3C=60,AP4C=75,AP5C=150.14.解:如圖,連接BC.BDC=140,5+6=40.BGC=100,2+5+4+6=80.2+4=40.BE,CF分別平分ABD,ACD,1=2,3=4.1+3=2+4=40,即1+2+3+4+5+6=120.A=60.15.證明:如圖,過點D作DMBE,交AC于點M,則MDF=E.在MDF與CEF中,MFD=CFE,FD=FE,MDF=E,MDFCEF.DM=CE.ABC為等邊三角形,A=B=ACB=60.ADM=B=60,AMD=ACB=60,ADM為等邊三角形.DM=AD.AD=CE.16.解:(1)證明:BGE=ADE,BGE=CGF,ADE=CGF.ACBD,BFCD,ADE+DAE=CGF+GCF.DAE=GCF.AD=CD.(2)設DE=a,則AE=2DE=2a,EG=DE=a.SADE=12AEDE=122aa=a2.BH是ABE的中線,AH=HE=a.AD=CD,ACBD,CE=AE=2a.SADC=12ACDE=12(2a+2a)a=2a2=2SADE.在ADE和BGE中,AED=BEG,DE=GE,ADE=BGE,ADEBGE(ASA),BE=AE=2a.SABE=12AEBE=122a2a=2a2,SBCE=12CEBE=122a2a=2a2,SBHG=12HGBE=12(a+a)2a=2a2.綜上,面積等于ADE面積的2倍的三角形有ACD,ABE,BCE,BHG.17.解:(1)當A為頂角時,B=50.當A為底角時,若B為頂角,則B=20,若B為底角,則B=80.B=50或20或80.(2)分兩種情況:當90x<180時,A只能為頂角,B的度數(shù)只有一個.當0<x<90時,若A為頂角,則B=180-x2,若A為底角,則B=x或B=(180-2x),當180-x2180-2x且180-x2x且180-2xx,即x60時,B有三個不同的度數(shù).綜上,當0<x<90且x60時,B有三個不同的度數(shù).