高考中的立體幾何問題高考專題突破四考點(diǎn)自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測解析解析如圖取B1C1的中點(diǎn)為F，連接EF，DF，則EFA1B1，DFB1B，且EFDFF，A1B1B1BB1，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.12345解析答案1.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為 A.相交 B.平行 C.垂直相交 D.不確定1245解析3答案2.設(shè)x，y，z是空間中不同的直線或平面，對下列四種情形：x，y，z均為直線；x，y是直線，z是平面；z是直線，x，y是平面；x，y，z均為平面.其中使“xz且yzxy”為真命題的是 A. B. C. D.解析解析由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題.12453解析3.(2018屆黑龍江海林市朝鮮中學(xué)模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 答案12453解析解析根據(jù)三視圖還原幾何體為一個直四棱柱，兩底面為四邊形(左視圖)，其余各側(cè)面為矩形，4.(2017天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是 A. B. C. D.解析答案1245312453解析解析由題意知，BD平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，又由知正確；由知錯.故選B.5.(2017沈陽調(diào)研)設(shè)，是三個平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_.(把所有正確的序號填上)解析12453答案或解析解析由線面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當(dāng)b，a時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以平行，正確.故應(yīng)填入的條件為或.題型分類深度剖析例例1(2016全國)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；題型一求簡單幾何體的表面積與體積證明證明證明由已知得ACBD，ADCD，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.解答所以O(shè)H1，DHDH3，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，BD，HD平面BHD，所以AC平面BHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，AC，OH平面ABC，所以O(shè)D平面ABC.所以五棱錐D-ABCFE的體積(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華思維升華解答跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1 (2018烏魯木齊質(zhì)檢)正三棱錐的高為1，底面邊長為 ，內(nèi)有一個球與它的四個面都相切(如圖).求：(1)這個正三棱錐的表面積；解答(2)這個正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解解設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點(diǎn)到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.V三棱錐PABCV三棱錐OP ABV三棱錐OPBCV三棱錐OP ACV三棱錐OABC題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例例2 (2017廣州五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，BAD60，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上.(1)求證：AD平面PBE；證明證明證明由E是AD的中點(diǎn)，PAPD可得ADPE.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，BAD60，所以ABBD，所以ADBE，又PEBEE，PE，BE 平面PBE，所以AD平面PBE.證明(2)若Q是PC的中點(diǎn)，求證：PA平面BDQ；證明證明連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OQ.因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)QPA，又PA平面BDQ，OQ平面BDQ，所以PA平面BDQ.解答解解設(shè)四棱錐PBCDE，QABCD的高分別為h1，h2.(1)平行問題的轉(zhuǎn)化思維升華思維升華利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問題時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序正好相反.在實(shí)際的解題過程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用.(2)垂直問題的轉(zhuǎn)化在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.證明跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中點(diǎn)，求證：(1)平面AB1E平面B1BCC1；證明證明在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC.因?yàn)锳E平面ABC，所以CC1AE.因?yàn)锳BAC，E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC.因?yàn)锽C平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BCCC1C，所以AE平面B1BCC1.因?yàn)锳E平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1.(2)A1C平面AB1E.證明證明證明連接A1B，設(shè)A1BAB1F，連接EF.在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形AA1B1B為平行四邊形，所以F為A1B的中點(diǎn).又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以EFA1C.因?yàn)镋F平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C平面AB1E.題型三平面圖形的翻折問題例例3 (2016全國)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF ，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD .(1)證明：DH平面ABCD；證明幾何畫板展示幾何畫板展示證明證明由已知得ACBD，ADCD.因此EFHD，從而EFDH.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.解答(2)求平面BDA與平面DAC夾角的正弦值.解解如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF，HD，HD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，設(shè)m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則所以可取m(4,3，5).設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則所以可取n(0，3,1).平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3 (2017深圳模擬)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；證明證明證明因?yàn)镻D平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因?yàn)锳BCD是矩形，CDAD，PDCDD，PD，CD平面PCD，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，MD，MF平面MDF，所以CF平面MDF.解答(2)求三棱錐MCDE的體積.解解因?yàn)镻DDC，PC2，CD1，PCD60，如圖，過點(diǎn)F作FGCD交CD于點(diǎn)G，題型四立體幾何中的存在性問題例例4 (2017安徽江南名校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，DC6，AD8，BC10，PAD45，E為PA的中點(diǎn).(1)求證：DE平面BPC；證明證明證明取PB的中點(diǎn)M，連接EM和CM，過點(diǎn)C作CNAB，垂足為點(diǎn)N.在平面ABCD內(nèi)，CNAB，DAAB，CNDA，又ABCD，四邊形CDAN為平行四邊形，CNAD8，DCAN6，在RtBNC中，AB12，而E，M分別為PA，PB的中點(diǎn)，EMAB且EM6，又DCAB，EMCD且EMCD，四邊形CDEM為平行四邊形，DECM.CM平面PBC，DE平面PBC，DE平面BPC.(2)線段AB上是否存在一點(diǎn)F，滿足CFDB？若存在，請求出平面FPC與平面PCD夾角的余弦值；若不存在，請說明理由.解答解解由題意可得DA，DC，DP兩兩互相垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(8,0,0)，B(8,12,0)，C(0,6,0)，P(0,0,8).假設(shè)AB上存在一點(diǎn)F使CFBD，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(8，t,0)(0t12)，又平面DPC的一個法向量為m(1,0,0)，設(shè)平面FPC的法向量為n(x，y，z).對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4 (2018成都模擬)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn).(1)證明：B1C1CE；證明證明證明如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).(2)求平面B1CE與平面CEC1夾角的正弦值；解答設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1).由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，CC1CEC，CC1，CE平面CEC1，可得B1C1平面CEC1，解答設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，課時作業(yè)基礎(chǔ)保分練1.(2017北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為 解析答案123456789解析解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱.由三視圖可知正方體的棱長為2，123456789解析答案2.(2018沈陽模擬)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點(diǎn)，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是 123456789解析解析由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因?yàn)镈A4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點(diǎn)M，由題意知，PM平面.令BMt，則AM|6t|，PA2(6t)24PA2t2，所以PA24t12.123456789即為四棱錐PABCD的高，解析答案3.(2017云南省十一校調(diào)研)設(shè)已知m，n是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若，m，n，則mn；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確命題的序號是_.123456789解析解析對于，當(dāng)兩個平面互相垂直時，分別位于這兩個平面內(nèi)的兩條直線未必垂直，因此不正確；對于，依據(jù)結(jié)論“由空間一點(diǎn)向一個二面角的兩個半平面(或半平面所在平面)引垂線，這兩條垂線所成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)”可知正確；對于，分別與兩條平行直線平行的兩個平面未必平行，因此不正確；對于，由n得，在平面內(nèi)必存在直線n1平行于直線n，由m，得m，mn1，又n1n，因此有mn，正確.綜上所述，所有正確命題的序號是.123456789解析答案4.如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫結(jié)論序號)123456789解析解析因?yàn)锽CAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯誤；設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤.123456789解析答案5.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，則點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_.123456789123456789解析解析點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為PC的長度的最小值.連接DE，當(dāng)PCDE時，PC的長度最小，證明6.(2018煙臺模擬)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E，F(xiàn)，H分別為AD，CD，DD1的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)G.(1)證明：平面ACD1平面BB1D；123456789證明證明BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1.又ACB1D，BB1B1DB1，BB1，B1D平面BB1D，AC平面BB1D.AC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D.123456789證明(2)證明：GH平面ACD1.123456789證明證明設(shè)ACBDO，連接OD1.E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，EFODG，G為OD的中點(diǎn).H為DD1的中點(diǎn)，HGOD1.GH平面ACD1，OD1平面ACD1，GH平面ACD1.123456789證明7.(2017青島質(zhì)檢)在平面四邊形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示.(1)求證：ABCD；123456789證明證明平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.解答(2)若M為AD的中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.123456789解解過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD，如圖.由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD.ABBE，ABBD.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BD，BA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面MBC的法向量為n(x0，y0，z0)，123456789取z01，得平面MBC的一個法向量n(1，1,1).設(shè)直線AD與平面MBC所成的角為，123456789技能提升練8.(2017鄭州模擬)等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足 如圖1.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB為直二面角，連接A1B，A1C，如圖2.證明(1)求證：A1D平面BCED；123456789證明證明因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長為3，在ADE中，DAE60，由余弦定理得從而AD2DE2AE2，所以ADDE.折起后有A1DDE，因?yàn)槎娼茿1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1DDE，所以A1D平面BCED.123456789解答(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60？若存在，求出PB的長；若不存在，請說明理由.123456789解解存在.理由：由(1)可知EDDB，A1D平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DE，DA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PB2a(02a3)，作PHBD于點(diǎn)H，連接A1H，A1P，123456789因?yàn)镋D平面A1BD，要使直線PA1與平面A1BD所成的角為60，123456789拓展沖刺練證明9.(2018合肥模擬)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD ，四邊形BFED為矩形，平面BFED平面ABCD，BF1.(1)求證：AD平面BFED；123456789證明證明在梯形ABCD中，AB2AD2BD2，ADBD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，DE平面BFED，DEDB，DE平面ABCD，DEAD，又DEBDD，AD平面BFED.123456789解答(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE的夾角為，試求的最小值.123456789解解由(1)可建立以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線DA，DB，DE為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)n1(x，y，z)為平面PAB的一個法向量，123456789n2(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，123456789本課結(jié)束