第2講三角恒等變換與解三角形高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航熱點(diǎn)透析熱點(diǎn)透析閱卷評(píng)析閱卷評(píng)析高考體驗(yàn)答案答案: :1 1感悟備考(1)三角恒等變換主要考查利用和差公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式及其變形等進(jìn)行求值,化簡(jiǎn),多以選擇、填空題的形式出現(xiàn),或在解答題中作為化簡(jiǎn)三角函數(shù)的工具進(jìn)行考查,試題難度中等及以下.(2)高考對(duì)解三角形問(wèn)題的考查主要包含三個(gè)方面:一是正、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,以邊、角、面積的計(jì)算為主,以選擇題或解答題的形式出現(xiàn),難度較小;二是正、余弦定理的綜合應(yīng)用,與其他知識(shí)(如不等式、三角恒等變換等)結(jié)合,難度中等或中等以上,多以填空題或解答題的形式出現(xiàn);三是正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用,以實(shí)際問(wèn)題為背景 ,考查正、余弦定理的應(yīng)用,試題難度為中等.題后反思題后反思 三角恒等變換的常用技巧三角恒等變換的常用技巧(1)(1)常值代換常值代換: :特別是特別是“1”1”的代換的代換, ,如如1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2=tan 45tan 45等等; ;(2)(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊項(xiàng)的分拆與角的配湊: :如如sinsin2 2+2cos+2cos2 2=1+cos=1+cos2 2,=(-)+,=(-)+等等; ;(3)(3)降次與升降降次與升降: :正用二倍角公式升次正用二倍角公式升次, ,逆用二倍角公式降次逆用二倍角公式降次; ;(4)(4)弦、切互化弦、切互化: :一般是切化弦一般是切化弦; ;(5)(5)公式的變形應(yīng)用公式的變形應(yīng)用: :如如sin =cos tan ,tan +tan sin =cos tan ,tan +tan =tan(+)(1-tan tan )=tan(+)(1-tan tan )等等; ;題后反思題后反思 (1)(1)在解三角形問(wèn)題時(shí)要根據(jù)題意恰在解三角形問(wèn)題時(shí)要根據(jù)題意恰當(dāng)選擇正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化當(dāng)選擇正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化, ,有時(shí)有時(shí)可能交替使用可能交替使用. .熱點(diǎn)三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【例3】 一緝私艇發(fā)現(xiàn)在其方位角(從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)45方向,距離其15海里的海面上有一走私船正以25海里/小時(shí)的速度沿方位角105的方向逃竄.若緝私艇的速度為35海里/小時(shí),緝私艇沿方位角為45+的方向追去,若要在最短時(shí)間內(nèi)追上走私船.(1)求角的正弦值;(2)求緝私艇追上走私船所需的時(shí)間.題后反思題后反思 正、余弦定理是解三角形的工具正、余弦定理是解三角形的工具, ,而而三角形應(yīng)用問(wèn)題中的測(cè)量問(wèn)題、行程問(wèn)題等都是三角形應(yīng)用問(wèn)題中的測(cè)量問(wèn)題、行程問(wèn)題等都是考查正、余弦定理應(yīng)用的常見(jiàn)模型考查正、余弦定理應(yīng)用的常見(jiàn)模型. .解決此類問(wèn)題解決此類問(wèn)題, ,首先根據(jù)題意合理畫(huà)出示意圖首先根據(jù)題意合理畫(huà)出示意圖, ,并標(biāo)注已知信息并標(biāo)注已知信息, ,然后結(jié)合圖形將條件歸結(jié)到某一個(gè)三角形中然后結(jié)合圖形將條件歸結(jié)到某一個(gè)三角形中, ,最后最后正確選取正、余弦定理求解正確選取正、余弦定理求解. .熱點(diǎn)訓(xùn)練3:如圖所示,漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度;(2)求sin 的值.題后反思題后反思 解三角形常與三角恒等變換相結(jié)合解三角形常與三角恒等變換相結(jié)合考查正、余弦定理的應(yīng)用考查正、余弦定理的應(yīng)用, ,其實(shí)質(zhì)是將三角形問(wèn)其實(shí)質(zhì)是將三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題. .解題過(guò)程中也常利用三角恒解題過(guò)程中也常利用三角恒等變換知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化等變換知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化, ,本例中第本例中第(1)(1)問(wèn)可結(jié)合三問(wèn)可結(jié)合三角恒等變換角恒等變換, ,利用正弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊利用正弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊; ;第第(2)(2)問(wèn)可利用余弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于問(wèn)可利用余弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,ba,b的方程的方程. .第一問(wèn)賦分細(xì)則第一問(wèn)賦分細(xì)則: :結(jié)果正確結(jié)果正確, ,過(guò)程合理得滿分過(guò)程合理得滿分; ;正弦定理用錯(cuò)不得分正弦定理用錯(cuò)不得分; ;求出求出sin Asin A后后, ,不考慮不考慮A A的范圍求出兩解得的范圍求出兩解得4 4分分( (扣扣2 2分分).).第二問(wèn)賦分細(xì)則第二問(wèn)賦分細(xì)則: :結(jié)果正確結(jié)果正確, ,過(guò)程合理得滿分過(guò)程合理得滿分; ;余弦定理寫(xiě)錯(cuò)基本不得分余弦定理寫(xiě)錯(cuò)基本不得分; ;面積公式寫(xiě)錯(cuò)扣面積公式寫(xiě)錯(cuò)扣2 2分分. .失分警示失分警示 (1)(1)不能正確地運(yùn)用正弦定理將已知不能正確地運(yùn)用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式, ,導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)解題導(dǎo)致無(wú)法繼續(xù)解題, ,或或者盲目地將角轉(zhuǎn)化為邊者盲目地將角轉(zhuǎn)化為邊, ,得到的代數(shù)式較為復(fù)雜得到的代數(shù)式較為復(fù)雜, ,無(wú)法進(jìn)一步求解無(wú)法進(jìn)一步求解. .(2)(2)忽略條件忽略條件“銳角銳角ABCABC中中”而得到兩解而得到兩解. .(3)(3)不能正確地選擇余弦定理解三角形不能正確地選擇余弦定理解三角形, ,從而無(wú)從而無(wú)法求出三角形面積法求出三角形面積. .解解: :(1)(1)法一法一由余弦定理由余弦定理c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcos C,-2abcos C,得得b b2-2-3b+2=0,3b+2=0,所以所以b=1b=1或或b=2.b=2.