專(zhuān)題二 三角變換與平面向量、復(fù)數(shù) sin ()cos().1,1sin2()12()1cos2()12()1.sinco1232sin(1s2yx xyxxyxxkkyxkkyyxxkkyxkkyyxyxf xAxRRRZZZZ正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)：定義域：值域：對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 取最大值 ；當(dāng)時(shí)， 取最小值；對(duì)于，當(dāng)時(shí)， 取最大值 ；當(dāng)時(shí)， 取最小值周期性：、的最小正周期都是； )cos().2|f xAxT和的最小正周期都是 sin ()(0)()()cos ()(0)()()sin22()2222()c2os222534yx xkkxkkyx xkkxkkyxkkkkkkyxkRZZRZZZZ奇偶性與對(duì)稱(chēng)性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)單調(diào)性：在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；在2()22()kkkkkZZ，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減 tan |.(0)()()()sin()123sin24222325yxx xkkkkkkkyAxkyxZRZZ正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：定義域：，值域是 ，在上面定義域內(nèi)無(wú)最大值也無(wú)最小值周期性：周期是奇偶性與對(duì)稱(chēng)性：奇函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心是，單調(diào)性：正切函數(shù)在，內(nèi)都是增函數(shù)函數(shù)的圖象與的圖象的關(guān)系： sin(0)(0)|sin()sin()sin()sin()sin()sin()12341yxyxyxyxyxAyAxyAx函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左或向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象；函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到函數(shù)的圖象；函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍，得到函數(shù)的圖象；函數(shù)的圖象上各點(diǎn)00sin()kkkyAxk的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上或向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象 221(2010sin21()cos22cos1 sin(2)2sin)414yxAyxByxCyxDyx 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平【例】長(zhǎng)沙市移 個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式是 一、三角函數(shù)的圖象及其變換，三角函數(shù)一解析式中月考 21sin2 sincoscossin(20)210(0)212216()022)14f xxxyf xyg xg x已知函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)， 求 的值；將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 ，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的山圖象，求函數(shù)在 ， 上的最大值東和最小值 24sin2sin2()sin(2)cos211 cos22B4s21.coyxyxyxxyxx 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，即的圖象，再向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為解，析：故選 2sin2 sincoscossin()(0)sin2 sincoscossin2 sincos2 cos(sin2 sincos21122211 cos22211cos )cos(2)()cos(2)cos()1.22121216 211223026f xxxf xxxxxxxx因?yàn)?，所以又函?shù)圖象過(guò)點(diǎn)， ，所以，即又，所以.3 312123421331cos(2)22cos(4)0404cos(4)1.011.323244f xxyf xyg xg xfxxxxxxyg x 由知將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 ，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，可知因?yàn)榈淖畲笾岛妥钚≈担?，所分別為以，因和此，故所以在 ， 上 12三角函數(shù)的圖象的平移變換是函數(shù)圖象平移變換的特例，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解析式本題主要考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式，三角函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算、變形、轉(zhuǎn)換和求解的能力三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)，基本思想是化歸【點(diǎn)評(píng)】與轉(zhuǎn)化 2sin()(0)()0312()A 2 B 4 C 6 D 8f xxxf 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則的最小值例2為 二、三角函數(shù)的性質(zhì)： 22sin(2)()01262sA.in(2)63f xxff xxx逐一驗(yàn)證：令，則由，得 的一個(gè)值為，這樣的，其圖象關(guān)于直線(xiàn)解對(duì)稱(chēng)，選析： sin(2)sin(2)cos6621232()04f xxxxaaaf xf xxf xaR已知函數(shù)， 為常數(shù) 求函數(shù)的最小正周期；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；若， 時(shí)，的最小值為，例求3的值 12sin(2)sin(2)cos2sin2cos22sin(663626262)222.().6)3(3(Tkkkf xxxxaxxaxaf xkxkkkxkkf xZZZ，所以函數(shù)的最小正周期當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故所間，求區(qū)為解析： 0202sin5,266663.()43xxxf xaa 當(dāng)， 時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，所以sin()yAxBx求函數(shù)的值域【點(diǎn)應(yīng)注意 的評(píng)】取值范圍 2(sin()cos()22(cos()3cos()3.22102123xxxxf xf xf xf xxx 已知向量，三、平面向量、三角函數(shù)的圖像和性設(shè)求函數(shù)的周期；若，試求出使為偶函數(shù)時(shí)的 的值；在成立質(zhì)的的條件下，求滿(mǎn)足且綜合例4，的合：運(yùn)用的集mnm n sin(2)31 cos(2)3 sin(2)3cos(2) 2s.in()312f xxxxf xxx因?yàn)樗院瘮?shù)的：周期為解析 sin()cos()01f xAxAxfxf xf xf xx 通過(guò)和角公式與降次方法以及輔助角公式可將化簡(jiǎn)為形如或的函數(shù)，再根據(jù)題設(shè)與，可確定 的值，利用的單調(diào)性或圖象法，可得出簡(jiǎn)單的不等【分析】式且，的解集 .320122122225.66655663662fxf xkksinxcos xxxkxkkxf xxZZ依題意，所以，又，所以由即解所以滿(mǎn)足題意的 的集合時(shí)，為偶函數(shù)，為sin()yAx本題主要考查可化為的函數(shù)的性質(zhì)，熟練地進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解決問(wèn)題是此題獲解【點(diǎn)評(píng)】的關(guān)鍵 2233331 sincoscos.si2n()f xf xxxAxABCabcbacbxxf xx已知函數(shù)將寫(xiě)成的形式，并求其圖象的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)；如果的三邊 、 、 滿(mǎn)足，且邊所對(duì)的角為 ，試求 的范圍及此備選函數(shù)題時(shí)的值域 sin(1 cos)sincoss1232232312323232322333in().si32221()2n3331()33120()()f xkkxkxxxxxxxkkk ZZZ先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由正、余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心求解解三角形中由，即，得，即對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)的三角問(wèn)題時(shí)，注意正、余弦定理【分析】：的應(yīng)為用 22222221222212523 33395329coscos10.|sinsin()1sin()122333233333223(1(0323( 31223acbacacacacacacbacxxxf xxf xacxxx 由已知，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，即的值域?yàn)?，綜上所述， ，且域，的值為本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決函數(shù)值域問(wèn)題，有利于考查學(xué)生的運(yùn)算能力，以及對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合【點(diǎn)評(píng)】的能力()1三角函數(shù)的圖象，可以利用三角函數(shù)線(xiàn)用幾何法作出在精確度要求不高時(shí)，常用五點(diǎn)法作圖，要特別注意“五點(diǎn)”的取法三角函數(shù)的定義域是研究三角函數(shù)的其他一切性質(zhì)的前提求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上就是解最簡(jiǎn)單的三角不等式 組 通?？捎萌呛瘮?shù)的圖象或三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)求解注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用sin()(cos()sin (cos2)yAxyAxxx三角函數(shù)的值域問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題常用的方法有化為或的值域或化為關(guān)于或的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域 sin(3)(00)()22()22()cos(12)22322yAxAwxkxkkxkxkkxyAxZZ三角函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把看作一個(gè)整體比如，由解出 的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出 的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與上類(lèi)似比較三角函數(shù)值的大小，往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名三角函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較0,0,sin()(00)sin()“”00.sin(456)(00)()0 (2kkkkyAxAyAxxAxyAxAwxxxkkxxkZ熟練掌握關(guān)于，的圖象的變換由圖象求解析式首先確定 五點(diǎn)法 中的第一個(gè)零點(diǎn)需根據(jù)圖象的升降情況準(zhǔn)確判定第一個(gè)零點(diǎn)的位置易求 、 ，再由得圖象的對(duì)稱(chēng)性，的圖象關(guān)于直線(xiàn)，成軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)于點(diǎn))kZ，成中心對(duì)稱(chēng)圖形