專題二 三角變換與平面向量、復數2i()ii1.ii()0001000ii2ab ababzab abbzabzbzabzabzababcdabcd RRR形如，的數叫做復數，其中 是虛數單位，把復數的形式叫做復數的代數形式記作，當且僅當時，為實數；當且僅當時，；當時，叫做虛數；當且時， 叫作純虛數 與分別叫做復數的實部和虛部兩個復數的實部和虛部分別相等兩個復數相等，即如果 、 、 、，那么ii00.aacbadbb， 222122222121212222ii()ii()()i.2iii.i.3.4i.zzabzcd abcdabcdacbdzzzzzababiabi cdiacbcdicdzabcdacbdadbcababab R則復數的加、減、乘、除法運算按以下法則進行：設， ， ，下不再說明，加減法：推論：乘法：特別地，除法：22.dbcad icd 2222121234567.,.()5zzzzzzzz 重要等式：z z此等式雖然結構很簡單，但它將 ， z緊密聯系在一起，并且等式從左右具有實數化功能，從右左具有因式分解功能推論：若 為虛數，則平面向量的重點內容包括：向量的概念；向量的加法、減法的定義及運算法則 三角形法則和平行四邊形法則 ；向量共線的充要條件；平面向量基本定理及應用；平面向量的坐標表示及應用；線段的定比分點坐標公式及應用；平面向量數量積的定義、運算律及應用 1212221122121().,1.()()123c46osaOABPABOPxOAyOB xyxyxyxyx xy 幾個重要結論：平面向量基本定理：如果 、是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這個平面內任一向量 ，有且只有一對實數，使若 是直線外一點，則 在直線上的充要條件是、，且若，則1212eeaeeRaaaba ba ba,b21212122100.yx xy yx yx y；的充要條件是；的充要條件是a ba / /b 11()21 21111A. B. C D55552()A1 B3 C 3 D 1()2311iiiiaibiabiiabzi R復數的虛一、復數的概念及其部是 若，其中 ， 是虛數單位，則的值為 復數為虛數單位 在復平面內對應的例四則運算點所在象()A BC D限為 第一象限第二象限第三象限第四象限 211212B.1121 2551551.52ii2i2112234253.5A2Diiiiiaibabiababiiiziz 由，得，所以，因為，解故復數 對應點在，其虛第四象部為限故選故選，選析： 2,()A.B.20C343123_2_12._D.3ABCBCBDCACEABCDBCCDDBCDrABsAD BrsAEC 二、平面向量的基本概念及已知在中，點 在邊上，且若則的在邊長為的正三角形中，值是設，線則例性運算 22()3322,3322,1,0.33121311() (2213CBABACABACrsrsADCDCACBCABECECBCACBAD BECBABDCA CCC 則所以因為，所方法解：以在中，析)117 2361.4ACBCB CA 3113(0)0,0(0)()2236353(0)()26633.261.4DBCECCABCxADyADBEADBEAD BE 方法2：由題知， 為的中點， 為靠近點的的三等分點，以所在的直線為 軸，以所在的直線為 軸，建立平面直角坐標系，可得，故，所以 ( 12)2,3( 231)()/1/23xOyABCABCABACtABtOCOBt 在平面直角坐標系中，已知點， 判斷的形狀；求以線段、為鄰邊的平行四邊三、平面向量基本定理及坐標運形兩條對角線的長；設實數 滿足，例求算的值 3,51,1( 44)0| |3,521,1|1|1ABACBCAC BCACBCACBCABACABACABACABACABABC 所以為不等邊的直角三角形，所以，又，由題設知，方又以線段、為鄰邊的平行四邊形兩條對角線長即為與，由法 ：解析：2,6| 2 104,4|4 22 10.| 4 2.ACABACABACABAC ，得，由，得所以所求的兩條對角線的長 、 分別為 0,10,11,4( 21)32 ,52| 42,3()/2 |332| 2 10.1.4523DEEBCEEADDOCABtOCttOBABtOCOBttBCADt 設該平行四邊形的第四個頂點為 ，兩條對角線的交點為 ，則 為 、 的中點，又為 、 的中點，所以，故所求的兩條對角線的長分別為由題設知， ，由，得，得方、法 ： 222(1)()2abc本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數量積，考查運算求解能力；判斷三角形的形狀主要從邊 是否有邊相等或是否有的形式 和角 是否有角相等或是否有直角 兩個方【點評】面分析 (4cossin )(sin4cos )(cos14sin )2tan()tan tan136/ .2/abcabcbca b設向量，若 與垂直，求的值；求的四、平面向量的數量積及最大值；若，求證：平面向量綜合用4應例 2222222(2 )204sin()8cos()0tan()(sincos4cos4sin )sin2sincoscos16cos32cos sin16sin1730sin cos17 15sin2212.32.abcabca ba cbcbcbcb b由 與垂直，得，即，所以因為，所以易知的最大值為解析，所以: tan tan16in sin16cos cos4cos4coss4 2./i/n sin0.3a bc的最大值為證明：由，得s，所以即，tan()tan tan16bc先由向量垂直的條件得出，再結合三角函數的基本關系式、二倍角的正弦【點公式求解的最大值；最后利用切化弦得出向量平行的充評】要條件 (sincos)( sincos)04422,133333|()|23kkkRk aba bababab已知備，且， 求的最值；若，求 的取選題值范圍 22222sinsincoscoscos2 .222cos24cos.10cos42423333321.|22110122coscos1cos1.2()11,2211122coscoscosttttytttt aa bababa bababb因為， ，所以，所以，所以令，則又所以在，解析時為11221,211.22tt 增函數，所以即所求式子的最大值為 ，最小值為 22222233.11cos2cos2.410cos2132111243 22231kkkkkkkkk由題設可得，所以又，所以由， ，得，所以解得，abababababa b【點評】：本題是以向量為工具考查三角函數、函數與導數的綜合問題向量的坐標表示實際上就是向量的代數表示在引入向量的坐標表示后，向量之間的運算便代數化了 1復數的基本概念，包括復數的實部、虛部；復數的分類：實數，虛數(純虛數)，復數的模，共軛復數，復數相等等2復數運算的基本思路是“實數化”，把復數問題轉化為實數問題3以“基底”形式出現的向量問題通常將題中的向量化為以某一點為統一起點，再進行向量運算會非常方便4以坐標形式出現的向量問題可以盡可能利用解析思想，轉化為函數或方程問題求解