專題一 函數(shù)與導數(shù)專題三 不等式、數(shù)列、推理與證明 111111()(1. )1()1(112)nnnnnnnnnnnnaaaf nf naqapaq pqapqp apapaf npag np ag n求數(shù)列通項的常見方法：累加 乘 法：形如或構造等差或等比數(shù)列法：如：， 為常數(shù) ，變形為；為常數(shù) ，為轉化；12212111,223nnnnnnnaaabapaqaaAaB aAaABn，轉化為，用待定系數(shù)法求 、 ，從而轉化為等比數(shù)列求解數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集， ，上的特殊函數(shù)，在解決數(shù)列問題時，可應用函數(shù)的概念、性質(zhì)實現(xiàn)問題的轉化，利用動態(tài)的函數(shù)觀點，結合導數(shù)等知識是解決數(shù)列問題的有效方法以數(shù)列為載體，通過數(shù)列的和或項來考查不等式的證明或應用是常見題型，應注意不等式的證明方法、數(shù)列求和方法等知識的綜合應用同時解題時應善于運用基本數(shù)學方法，如觀察法、類比法、數(shù)形結合法等 4數(shù)列模型應用問題國民經(jīng)濟發(fā)展中的大量問題，如人口增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計算等應用問題，就是數(shù)列所要解決的問題實際問題中，若問題實質(zhì)反映的是前后相鄰兩次(或三次)之間的某種固定關系，適合應用數(shù)列建模求解 11*12320092010121()()A.6 B.3 C.2 .1 D 1nnnnaaaaanaaaaaN一、周期數(shù)列與創(chuàng)已知數(shù)列滿足，則連乘積例1的值為 新型數(shù)列問題 *(2) 1()_2_nnnnnknnaaap nnNpaaaaakNka定義：在數(shù)列中，若， 為常數(shù) 則稱數(shù)列為“等方差數(shù)列”下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；是等方差數(shù)列；若是等方差數(shù)列，則， 為常數(shù) 也是等方差數(shù)列；若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列其中正確命題序號為 123412320092010200920101222212212A. 416111201nnnnnnnnnknaa aaaa aaaaaaa aaapaaaa 歸納出數(shù)列是以 為周期的數(shù)列，且，故，對于，由知是等差數(shù)列，命題正確對于，由于，則是等方差數(shù)列，命題正確對于，是等方差數(shù)列，由知是等差數(shù)列，則數(shù)選列故解析：222(1)()knk naad是等差數(shù)列，即常數(shù) ，命題正確2211().22nnnnnaapaaddpad對于，根據(jù)條件知，解得常數(shù) ，命題故填正確 12本題可以訓練學生的歸納推理能力，猜想數(shù)列可能是周期數(shù)列，然后探究數(shù)列的周期性有關數(shù)列的新定義型試題在高考命題中較常見，問題分析求解的關鍵是理解“新定義”的內(nèi)涵并準【點評】確應用201150020600(1)500(1)()2nnn某企業(yè)年的純利潤為萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少萬元今年初該企業(yè)一次性投入資金萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第二、數(shù)列模型應年 今年為第一年 的例2利潤為萬元為正用問整數(shù)題 ()12nnnnnABAB設從今年起的前 年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元，進行技術改造后的累計純利潤為萬元 須扣除技術改造資金 ，求、的表達式；依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？ 22250020148020490102111500(1)500(1)500(1)600222111500500()600222111225500510005006001120100.2nnnnnnnAn nAnnnBnnn 依題意知，數(shù)列解是一個以為首項，為公差的等差數(shù)析列：，所以， 222 5005001004901025050102210.50503324410816244nnnnnBAnnnnnf ng nnnnf ng nfgfgnN則時不等式成立依題意得，即，可化簡得，所以，即至少經(jīng)過 年進行技術改造可設，又因為，是后累計純利潤將超減函數(shù)，是增函數(shù)又，過不改造的累計純利潤數(shù)列模型實際應用問題的顯著情境是一次一次的變化，且前后相鄰兩次或三次顯現(xiàn)固定的變化模式；求解時可依次探究，歸納出一般規(guī)律，也可找相鄰前后二次或三次的遞推關系式，然后化歸為特殊數(shù)列問【點評】題求解 12111(201320.93337811123)8nnnnnnnnnnnnnnnaaanSnaSa SSaabbnaaTnT 例3已知數(shù)列中，其前 項和為，且當時，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；求數(shù)列的通項公式；令，記數(shù)列的前 項和為，證明對于任意的正整數(shù) ，都三、數(shù)列與成都不等式綜合問有模擬題成立 112111111112121112SS(2)104001141 4.1223 4 1 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSa SSSSSSSSSSSnSSnSSSnaSSaSSa 證明：當時，所以又由，可推知對一所以數(shù)列是等比數(shù)切正整數(shù)均有，由知等比數(shù)列的首項為 ，公比為 ，所以當時，列，又，所以解析：2 1.3 4 2nnn 2122212111121122123 49339 3 43 4.3 43 3 4341 4193338318373 488241 413nnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaabaanbTbn 證明：當時，此時又，所以，22121122 22 121113 411241 414141311()8414111717().4141841837880nnnnnnnnnnnnnnnnbTbbbnbTTTnT 當時，又因為對任意所以對于任意的正整數(shù)的正整數(shù) 都有，所以單調(diào)遞增，都有，即，成立 12本題第小題作為等差數(shù)列通項公式的逆用，體現(xiàn)了對等差數(shù)列的另一種刻畫第小題涉及構造函數(shù)、運用函數(shù)單調(diào)性論證不等式，這種分析求解方法在高考中頻【點評】繁出現(xiàn) 11*1121234*111*121213111()(2)2(2)11110(1)(1)(1)(23)31nnnnnnnnnnnnnbbbbaaabnnbbbbbbbabnnabnaaaNNN數(shù)列滿足，若數(shù)列滿足，且求 ， ，及 ；求證：且；求證：例4 2341111*12211211121111137152112111 22111()12(2)11111111121.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbabnnbbbaabbbbbbbbbaaaabbbbbb N，由，所以證明：因為且，所:以，以析所解，*111(2)nnnnabnnabN且 1212123122111231341121111212121112(1)(1)(1)111111123211122()3111131()132111(1)(1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabbaabaaaaaabbbababbbbbbbbaa 證明：由知，而，121111)(1)2()nnabbb111112123341112122121 212112(),21 21212111132111110(1)(1111111 2()()()212121212121111)(1).51 2()32313nkkkkkkkkknnnnaaak 當，所以時，所以 本例涉及兩個數(shù)列，問題實質(zhì)是有關數(shù)列的通項、恒等式和不等式的證明，求解策略是應用轉化化歸思想和推理證明方法其中不等式證明運用的放縮技巧【點評】是難點 12211*2*12()2463,23(2,3)1(1,2).21()3213()nnnnnnnnnnnfxxaxb abfxxxxabaaf anbnbnSaabSnanNN設函數(shù)、 為實數(shù) ，已知不等式對任意的實數(shù)均成立定義數(shù)列和：， ， ，數(shù)列的前 項和為求 、 的值；求備選題 證：求證： 22211111211121111 2462|31 |3010.232322 (2)1(2)22231.221222222.12nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxxxxffabaf aaaaananaaaaaaabaaa aaaa aaf xxx R由，對均成立得，故，所以由，得，以解所析:11nna-，*1212231111211211112111111()()111111()1().322(2)220(2)(2)3003nnnnnnnnnnnnnnnnnnSnSbbbaaaaaaaaaaaanaaanaanaaaaaN所以因為，所以，所以從而，即，所以 1212121n122121112112122(2)12121 (2)142cc(2)1 log2log(2)log212(2)121 (2)121212(2)3nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaanaaanaccnccndcdddnddndddnn 由，得設，則，且，于是設，則，且，所以，所以，從而1111-111222*21221222121.13221()1 1nnnnnnnndnnndcacnaan N時，所以，所以當時以，所n本題集數(shù)列、函數(shù)、不等式于一體，主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項求法、數(shù)列前 項和的求法、構造新數(shù)列法、裂項相消法等知識與方法，此題對學生分析問題與解決問題的能力，邏輯推理能力以及運算能力的要【點評】求較高1數(shù)列模型應用題的求解策略與數(shù)列有關的應用題大致有三類：一類是有關等差數(shù)列的應用題；二是有關等比數(shù)列的應用題；三是有關遞推數(shù)列且可化成等差、等比數(shù)列的應用題當然，還包括上述三類問題的綜合其中第一類問題在內(nèi)容上比較簡單，建立等差數(shù)列模型后，問題常常轉化成整式或不等式處理，很容易計算對第二類問題，建立等比數(shù)列的模型后，弄清項數(shù)是關鍵，運算中往往要運用指數(shù)或對數(shù)知識，并依據(jù)題設中所給參考數(shù)據(jù)進行近似計算，對其結果要按要求保留一定的精確度對于第三類問題，要將線性遞推數(shù)列化歸為等比數(shù)列求解 2數(shù)列與不等式綜合問題求解思想解答數(shù)列與不等式的綜合問題時要善于運用函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，利用數(shù)列為特殊函數(shù)，用特例分析法、一般遞推法及數(shù)列的求和、求通項的基本方法、放縮法等方法綜合分析問題探究問題計算、推理、論證的途徑