專題三 不等式、數列、推理與證明 11211121231.(.1;22)211;nnnnmnnnmnnaandaanm dddnSSnaSAnBn ABaaaannmaa nn aan nd 等差數列的通項公式為和等差數列的公差公式為和等差數列的前 項和公式等差數列主、 為干識常數知 *1212232.4mnpqmnpqnnnnnnnnnkkkkkmnpqmnpqaaaaaaaaaaaaanSAnBnaabakbmkkSSSSSkdN等差數列的性質： 、 、 、，若，則、 、的關系為，特別地，數列的前 項和是成等差數列的充要條件若數列和均是等差數列，則仍為等差數列， ， 為常數等差數列中依次 項和成等差數列，即 ， 成等差數列，公差為 11111.12111121nnnnn mnmnna qaa qaaa qaa qnSqqqq 等比數列的通項公式為和等比數列的前等比數列主干式知識項和公 *121232232,.3kkkkmnpqmnpqnnnnnnkkkkkknkmnpqmnpqaaaaa aa aa aa aabma bmkTSSSSSqkTnTTTTN等比數列的性質： 、 、 、，若，則、 、的關系為，特別地，若和均是等比數列，則仍為等比數列，其中 為常數等比數列中依次 項和成等比數列，即 ， 成等比數列，其公比為等比數列中依次 項積成等比數列，記 為前項積，即 ，2,.kq成等比數列，其公比為 *3312461537453()A1 B 2 C 5 D 311log1lo1 12g()9log NnnnnnnnnnnnabnAanABnBnbannaaaaaa已知兩個等差數列和的前 項和分別為和，且，則使得為正偶數時，的值是 或已知數列滿足，且一、等差、等比數列的概念，通，則項公式，前 項和公式的綜合應用例79()11A B5 C 5 D.55aa 的值是 1212112121331135579246221438719221311log 3log333D.B2.1nnnnnnnnnnnnnnaaaaAbbbbBannnnbnaaaaaaaaaa，由為正偶數，所以或，易得，選解故故選析：1adq熟記等差和等比數列主干知識，依題設情境，運用方程思想和轉化化歸思想將已知化為特征量 和 、 的方程并講究運算技巧是問題求解的【點評】切入點 1882810122011201004114237223 65()A.B.C.32233221146()()2A. 2(212 D. B 2 01)C30nnmnaaaaaaaaaaaaaamn已知正項等比數列例廣東中山二、等差、等比數列的性質及應用在等差數列中，則滿足：，且，則的等于 最小值為 或或中學模擬4 D 6 14148108108108118108818101088081562332211221388172;22212812C1221.1233 nnaadaaaaaandaaaaaaaaaaaadaaadddd設等差數列的通項公式為，則由條件有，而，解得，或，所以或，即或，所以當時,當時，析，故選解: 22010201020102222111242201()2.41622611116()()2423 m nnmm naqaqaqqqqaaaa qamnnmmnmnmnmnnmmnmn由題意知，化簡得，所以舍 或又由已知條件，可得，所以，故，所以，當且僅當，也就是時取“ ”1adq有關等差、等比數列的計算型問題的求解策略是：首先考慮能否用性質，若不然，則轉化為關【點于 、 、 的評】方程求解 545()A.B.C.4565.16D5N 如果執(zhí)行如下框圖，輸入，則輸三、特殊數列求和出的數等于 21111 1471322nnaana求數列的前 項和：， ， 111151 22133 45 66D.S由題意知輸出的 的值析:，故選為解 212111111 1(4)(7)(32)111(1)(1473113131.121212)3131()122() 2 1 nnnnnnnnSnaaaSnaaannnnaSnnaanaSannaa設，將其每一項拆開再重新組合得，分組 當時，分組求和當時，特殊數列求和常用方法有：拆項重組法、裂項相消法、錯位相減法等，應用時關鍵是觀察通項的特征后聯想相應【點評】的方法 1*1121.log2 log2().12NnnnnnnnnnnSSnnanSSaanSbbnbnT已知數列的前 項和是 ，滿足求數列的前 項四、等差、等比數列及數和 ；若數列滿足，求數列的前列求項例4應用和和綜合 11111111*1 221()11211.2212122212NnnnnnnnnnnnnnnSaanSaaSSaaaaaSn當時，當時，所以數列是首項為 ，公比為 的等比數列，解所以析： 1121211211log2log 2log211.111111 22 33 411.111111112233412 nnnnnnSnSnnSSnnbnnnnTn nnn因為，所以，所以，所以11 1 2 nnnSnaSSn本題是典型的關于關系式的運用及根據通項特點采用裂項相消【點評】法求和 12*121123()11(2.001) Nnnnnnnnnnnnaaqbaaacbbbnaqbcaqqccaqqcaqc數列是以 為首項， 為公比的等比數列令，其中試用 、 表示 和 ；若，是否存在實數對 ， ，其中，使成等比數列若存在，求出實數對 ，和 的通項且，試比較 與的大公式；若不存在，備選請說小題 ；明理由 1212212122211 ()12()2(1)2.11 ()12()2(1 112221,111111)()2(1)112nnnnnnnnnnnqbaaanacbbbnnqbaaana naaaqqaacbbbnqqqnaqqaaqqqqaqq 當時，當時，解析:122(1),11naaqqnq 212211,1111(1)2(1)22.2(1)(1)(1)1(1)nnnnnaqbaqqqaannqcaqaaqnqqqq 所以 111111111222222(1)2(1)1(1)11110,1,11111101110111,1000102nnnnnnnnnnnnnnaqaaqqqqaqaaqqqqaaccnqccqqqqqqqqqqqaqqccqaq 因為所以，當時，；當時，所以當，且時，1.nncc即 12222,1112001110101111102(1)22 ( ),3323(3)0., nnnnnaqaaqqqqaqaqqqaaqqaaqqcnccqq因為，所以若為等比數列，則或所以或舍去 所以 1111100()0110nnnnnnnaandadnaddaadannaydxaddada數形結合思想通項的幾何意義：由可變形為若，則是常數函數；若，則是 的一次函數，是直線上一群孤立的點單調性：時，為單調遞增數列解決與等差數列有關問題的常用；時，為單調遞思想方法減數列 211222().002222()nnnnnnnanSSnanABaSAnBnAdSnnSyAxBxyAxBxndSddd數列的前 項和可變形為，令，則當即時，是關于 的二次函數，在二次函數的圖象上，為拋物線上一些孤立的點利用其幾何意義可解決前 項和 的最值問題 11122“”“”1()nnnnaadnSaaqnSaq方程思想將等差數列問題化歸為基本量的關系來解決是通性通法一般地，等差數列的五個基本量 、 、 、 ，知道任意三個元素，可建立方程組，求出另外兩個元素，即 知三求二 方程思想等比數列中有五個量 、 、 、 、 ，一般可以知三求二 ，能通過列解決方程 組 求關鍵量與等比數列有關問題的常用思想方法和 ，問題可迎刃而解 111111()()01)2010(nnnnnnnxnaa qaqananayqaqaqaaqqa數形結合思想通項可化為，因此是關于的函數即中的各項所表示的點 ，在曲線上，是一群孤立的點單調性：當或時，是遞增數列； 111111011.300011111nnnnnnnnnaqaqaqanaaqqaqqSnaqanSaanqqq 當或時，是遞減數列；當時，為常數列；當時，為擺動數列分類思想當時，的前 項和；當時，的前 項和等比數列的前 項和公式涉及對公比的分類討論，此處是常考易錯點