專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題八 數(shù)學(xué)思想與方法 函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，如與方程、數(shù)列、不等式、平面解析幾何等內(nèi)容相關(guān)的非函數(shù)問(wèn)題，都往往可利用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)函數(shù)的研究，使問(wèn)題得以解決 方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題如含參數(shù)方程的討論、方程與曲線的相互轉(zhuǎn)化等都要利用到方程思想 函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)是研究變量與函數(shù)、相等與不等過(guò)程中的基本數(shù)學(xué)思想 22222cos0_log 2 8424_1_ _2_xxxaaf tttf tmxmxmxx已知關(guān)于 的方程有唯一解，則 的值為已知，對(duì)于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù) ，不等式恒成立，一、函例1則的取值數(shù)思想及應(yīng)用范圍為 22222cos.00.00201 2 832.22202212.fxxxaxfxfxfxfxyfxxfatf tm xxxxa R令，因?yàn)?，所以為偶?shù)從而的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱，而題設(shè)方程有唯一解，從而此解必為所以因?yàn)椋?，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立當(dāng)時(shí)，不等式不成立，所以解析：212232130.21023021.xxg mm xxmg mmgg 令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在，上恒大于則解得或， 1”2xmm通過(guò)構(gòu)建函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)方程或不等式問(wèn)題，這就是函數(shù)思想首先明確本題是求 的取值范圍，這里注意另一個(gè)變量 ，不等式的左邊恰是 的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決，在多個(gè)字母變量的問(wèn)題中，選準(zhǔn) 主元往往是解題的關(guān)鍵，同時(shí)利用函數(shù)思想將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)【點(diǎn)評(píng)】題求解1,02212lxCAByxABCllC過(guò)點(diǎn)的直線 與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上且離心率為的橢圓 相交于 、 兩點(diǎn)，直線過(guò)線段的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓 上存在一點(diǎn)二、方程與右焦點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱，試求直線 與橢圓思想及例用2應(yīng)的方程22222222212221.22cabeaaabcbxyb由，得，從而，解設(shè)橢圓的方程為方法 ：析：，1122222222112222221212121212120000000000()()2222()2()0.2().211()221121.ABABA xyB xyxybxybyyxxxxyyxxyyxABxykyxyyxyxxkylyx ，在橢圓上，則，兩式相減得，即設(shè)線段的中點(diǎn)為，則又，在直線上，所以，于是，故，所以直線 的方程為222222,0()11.11221,112 1299.1688161991.blxyyxxbybyxbbbbbaxCyxyl 設(shè)右焦點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得由點(diǎn)在橢圓上，得，則，故所以所求橢圓 的方程為，直線 的方程為22222222222222122121212221222.2211242204121122.12cabeaaabcbxyblyk xlCkxk xkbkxxkyyk xk xkk xxkk 由，得，從而，設(shè)橢圓的方程為，直線 的方程為將直線 的方程代入橢圓 的方程，得，方則故法2：12122221()2221201.122111200,0011.xxyyyxABkkkkkkklyF clFCkxyklyx 又直線過(guò)線段的中點(diǎn)，則，解得或若，則直線 的方程為，焦點(diǎn)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)就是 點(diǎn)本身，不可能在橢圓上，所以舍去，從而，故即，以下同直線 的方程方法為，12ABAB本題解法 ，將 、 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線斜率的等式，再利用對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分來(lái)列方程組求解；解法 ，用韋【點(diǎn)評(píng)】達(dá)定理 2ln e()ln2e12xfxaaaxF xf xG xxxm R已知函數(shù)為常數(shù) 是實(shí)數(shù)集 上的奇函三、函數(shù)與方程思想的綜合數(shù).求 的值；試探究函數(shù)與的交點(diǎn)例應(yīng)3用的個(gè)數(shù) 22212lnlnln1110120.()1ln2ln2.xxxxxxxxxf xeaeaeaeaeaaeaeaa eeaaxRf xxF xG xxxexmxxfxfxxexmx 是奇函數(shù)，則恒成立，所以，所以，亦即恒成立，由知，函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程的根的個(gè)數(shù)令析故：，解 12111111max222121(0e0(0ee)0e)1ee.eelnxfxxxfxfxxfxfxxfxfefxxmfxfx因?yàn)?，?dāng)， 時(shí)，所以在 ， 上為增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，所以在 ，上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，而，函數(shù)、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，2222222221e1e11ee111e1eeee121mememmeemmeemememe綜上，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)有 個(gè)所以當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)交點(diǎn)；當(dāng)，根兩函數(shù)有 個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)無(wú)交點(diǎn)本題是函數(shù)與方程、不等式的綜合題，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、最值等知識(shí)點(diǎn)，問(wèn)題分析求解須理解函數(shù)的性質(zhì)，充分運(yùn)用函數(shù)與方程思想，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問(wèn)題和方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)【點(diǎn)評(píng)】題研究 1211221ln ()()2 1()22011)f xxa x axf xf xxxA xf xB xf xkakaaR設(shè)函數(shù)討論的單調(diào)性；若有兩個(gè)極值點(diǎn) 和 ，記過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率為 ，問(wèn)：是否存在 ，使得？若存在，求出 的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)湖選南備題明理由 22222(0)111.14.200.(0)2000(0)0.(0)1 f xaxaxfxxxxg xxaxaafxf xag xfxf x 的定義域?yàn)?，令，其判別式當(dāng)時(shí)，故在 ，上單調(diào)遞增當(dāng) 時(shí)， ，的兩根都小于 ，在 ，上，故在 ，上單解析調(diào)遞增 22121122121220044.220000.(0) ()()ag xaaaaxxxxfxxxxfxxxfxf xxxxx當(dāng) 時(shí)， ，的兩根為，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，故分別在 ， ，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減 12121212121212121212121212121212.lnln11.11.2.212.axxf xf xxxaxxx xf xf xlnxlnxkaxxx xxxlnxlnxx xkaxxlnxlnxakaxx 由知， 因?yàn)?，所以，又由知，于是若存?，使得，則 121222222222lnln.12ln0(1) *1122ln(0)1112ln12ln10*.1xxxxxxxxh ttttxxxkxaa 即亦即 再由知，函數(shù)在 ，上單調(diào)遞增，而 ，所以這與式矛盾故不存在 ，使得 ()001(0)()f xyf xxf xf xyf x函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問(wèn)題 例如：求函數(shù)的零點(diǎn) 可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決；同時(shí)方程和不等式問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決，如解方程，就是求函數(shù)與 軸的交點(diǎn)，即零點(diǎn)；解不等式或，就是求函數(shù)值為正 或負(fù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間2函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化常見(jiàn)問(wèn)題：(1)函數(shù)與其圖象可視為方程與曲線的關(guān)系(2)方程中的參變量有時(shí)可視為其中某個(gè)量的函數(shù),從而利用函數(shù)特性研究(3)解方程或不等式時(shí)可視其結(jié)構(gòu)聯(lián)想到相關(guān)函數(shù)圖象或性質(zhì)給予解決(4)數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題可視為函數(shù)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為方程和不等式解決