11 1歸納與類比歸納與類比2一、教學(xué)目標(biāo)：一、教學(xué)目標(biāo)：1 1、知識(shí)與技能：、知識(shí)與技能：（1 1）結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解類比推理的含義；）結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解類比推理的含義；（2 2）能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；）能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；（3 3）體會(huì)并認(rèn)識(shí)類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和生活中的作用。）體會(huì)并認(rèn)識(shí)類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和生活中的作用。2 2、方法與過(guò)程：、方法與過(guò)程： 遞進(jìn)的了解、體會(huì)類比推理的思維過(guò)程；體驗(yàn)類比法在探遞進(jìn)的了解、體會(huì)類比推理的思維過(guò)程；體驗(yàn)類比法在探究活動(dòng)中：類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性究活動(dòng)中：類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3一、教學(xué)目標(biāo)：一、教學(xué)目標(biāo)：3 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：、情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)類比法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的基本作用：即通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)新體會(huì)類比法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的基本作用：即通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論；通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新方法。培養(yǎng)分問(wèn)題、新結(jié)論；通過(guò)類比，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新方法。培養(yǎng)分析問(wèn)題的能力、學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法；增強(qiáng)探索問(wèn)題的信心、析問(wèn)題的能力、學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法；增強(qiáng)探索問(wèn)題的信心、收獲論證成功的喜悅；體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣、領(lǐng)略數(shù)學(xué)方法收獲論證成功的喜悅；體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣、領(lǐng)略數(shù)學(xué)方法的魅力！同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)的魅力！同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。學(xué)意識(shí)。4二、教學(xué)重點(diǎn)：二、教學(xué)重點(diǎn)：了解類比推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。了解類比推理的含義，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)猜想猜想證明證明”的推理能力。的推理能力。三、教學(xué)方法：三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程四、教學(xué)過(guò)程52.歸納推理的一般步驟歸納推理的一般步驟:(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題性命題(猜想猜想).?部分整體部分整體特殊特殊 一般一般6從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱從一個(gè)傳說(shuō)說(shuō)起：春秋時(shí)代魯國(guó)的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子明了鋸子.他的思路是這樣的：他的思路是這樣的：茅草是齒形的茅草是齒形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的它也可以是齒形的.這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？7試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？問(wèn)：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？8火星火星地球地球相似點(diǎn)相似點(diǎn):繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時(shí)間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。分時(shí)間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命猜想猜想火星上是否有生命？火星上是否有生命？相似點(diǎn)相似點(diǎn):9 由兩類對(duì)象具有某些類似特征，和其由兩類對(duì)象具有某些類似特征，和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理類比推理（簡(jiǎn)稱類比）（簡(jiǎn)稱類比）類比推理的定義類比推理的定義: 簡(jiǎn)言之，類比推理是由簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 發(fā)發(fā)明行星三大明行星三大運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律的定律的開開普勒普勒曾說(shuō)類曾說(shuō)類比比推理是自然奧妙的推理是自然奧妙的參與者參與者和自己最好和自己最好的老的老師師 數(shù)學(xué)家波利亞曾指出數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個(gè)偉大的類比是一個(gè)偉大的引路人引路人, ,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問(wèn)題比問(wèn)題.”.”10類比推理的特點(diǎn)類比推理的特點(diǎn); ;1.1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性, ,推測(cè)正在研究的推測(cè)正在研究的事物的屬性事物的屬性, ,是是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ), ,類比出新的結(jié)果類比出新的結(jié)果. .2.2.類比是從一種事物的類比是從一種事物的特殊屬性特殊屬性推測(cè)另一種事物的推測(cè)另一種事物的特殊屬性特殊屬性. .3.3.類比的結(jié)果是猜測(cè)性的類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠不一定可靠, ,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能. .類比推理的一般步驟類比推理的一般步驟:觀察、比較觀察、比較聯(lián)想、類推聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論猜想新結(jié)論類比推理的一般步驟：類比推理的一般步驟： 找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；一致性）； 用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想；從而得出一個(gè)猜想； 檢驗(yàn)猜想。檢驗(yàn)猜想。 11例例1、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比、試將平面上的圓與空間的球進(jìn)行類比.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合.球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集球的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合合.圓圓弦弦直徑直徑周長(zhǎng)周長(zhǎng)面積面積球球截面圓截面圓大圓大圓表面積表面積體積體積12圓的概念和性質(zhì)圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長(zhǎng)距圓心較近的弦較長(zhǎng)以點(diǎn)以點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點(diǎn)的連線中點(diǎn)的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過(guò)球心的截面球心與不過(guò)球心的截面( (圓面圓面) )的圓心的連線垂直于截面的圓心的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點(diǎn)以點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)利用圓的性質(zhì)類比得出球的性質(zhì)球的體積球的體積3 34 4V = RV = R3 3球的表面積球的表面積2 2S = 4RS = 4R圓的周長(zhǎng)圓的周長(zhǎng) S = 2RS = 2R圓的面積圓的面積2 2S =RS =R13例例2 類比實(shí)數(shù)的加法和乘法類比實(shí)數(shù)的加法和乘法,列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).類比角度類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果若若a,bR,則則a+bR運(yùn)算律運(yùn)算律(交換律和交換律和結(jié)合律結(jié)合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆運(yùn)算逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法加法的逆運(yùn)算是減法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a單位元單位元a+0=a若若a,bR,則則abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆運(yùn)算是除法乘法的逆運(yùn)算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a14通過(guò)例通過(guò)例1，例，例2你能得到你能得到類比推理的一般模式類比推理的一般模式嗎？嗎？類比推理的一般模式類比推理的一般模式:所以所以B類事物可能具有性質(zhì)類事物可能具有性質(zhì)d.A類事物具有性質(zhì)類事物具有性質(zhì)a,b,c,d,B類事物具有性質(zhì)類事物具有性質(zhì)a,b,c,(a,b,c與與a,b,c相似或相同）相似或相同）15 類比推理舉例類比推理舉例構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目：四面體構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目：四面體 三角形三角形 16例例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試 給出空間給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想中四面體性質(zhì)的猜想17直角三角形直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體個(gè)面兩兩垂直的四面體C903個(gè)邊的長(zhǎng)度個(gè)邊的長(zhǎng)度a，b，c 2條直角邊條直角邊a，b和和1條斜邊條斜邊cPDFPDEEDF90 4個(gè)面的面積個(gè)面的面積S1，S2，S3和和S 3個(gè)個(gè)“直角面直角面” S1，S2，S3和和1個(gè)個(gè)“斜面斜面” S例例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試 給出空間中四面體性質(zhì)的猜想給出空間中四面體性質(zhì)的猜想1819PAPBPCPA PB PC例例4 由圖由圖(1)有面積關(guān)系有面積關(guān)系:則由圖則由圖(2)有體積關(guān)系有體積關(guān)系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C圖圖(1)圖圖(2)20例例5.在平面上在平面上,設(shè)設(shè)ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三條邊上的高三條邊上的高.P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為到相應(yīng)三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結(jié)論我們可以得到結(jié)論:試通過(guò)類比試通過(guò)類比,寫出在空間中的類似結(jié)論寫出在空間中的類似結(jié)論.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空間中空間中圖圖形形結(jié)結(jié)論論1ccbbaahphphp1abcdabcdpppphhhhABCPpapbpcABCDP21 合情推理合情推理 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理合情推理。 通俗地說(shuō)，合情推理是指通俗地說(shuō)，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的應(yīng)用合情推理的應(yīng)用 數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。 證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向供證明的思路和方向2223作業(yè)作業(yè): :課本課本P7P7習(xí)題習(xí)題1-11-1中中4 4、5 5教學(xué)反思：教學(xué)反思：