第5講二次根式及其運(yùn)算要點(diǎn)梳理 1二次根式的概念 式子_ a_叫做二次根式 2二次根式的性質(zhì) (1)( a)2_a(a0)_ (2) a2|a| a（a0） ； 0（a0） ； a（a0） . 要點(diǎn)梳理 溫馨提示(1)某些二次根式的題目中隱含著“a0”這個(gè)條件，做題時(shí)要善于挖掘隱含條件，巧妙求解；(2)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零要點(diǎn)梳理 要點(diǎn)梳理 4最簡(jiǎn)二次根式運(yùn)算結(jié)果中的二次根式，一般都要化成最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式，需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式A C 1(2012酒泉)327( ) A3 B3 C2 D2 2(2013慶陽(yáng))(3)2的平方根是( ) A3 B3 C3 D9 3(2013慶陽(yáng))設(shè) a 1712，則 a 在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，這兩個(gè)整數(shù)是( ) A4 和 5 B3 和 4 C2 和 3 D1 和 2 B 4(2014甘肅省)下列計(jì)算錯(cuò)誤的是( ) A. 2 3 6 B. 2 3 5 C. 12 32 D. 82 2 5(2011甘肅省)若代數(shù)式x1x2有意義，則 x 的取值范圍是 6(2012天水)若xx1 12x有意義，則 x 的取值范圍為 B x1且x2 7(2011天水)計(jì)算 812 8(2012甘南州)已知 a1 2，b1 2，則代數(shù)式a b 的值為 9 (2014甘肅省)已知x， y為實(shí)數(shù)， 且y x29 9x24，則 xy -1 -1或7 D 二次根式概念與性質(zhì) 【例 1】 (1)等式2k1k32k1k3成立，則實(shí)數(shù) k 的范圍是( ) Ak3 或 k12 B0k3 Ck12 Dk3 解析：要使等式成立 ， 必須2k10，k30，有k12，k3.k3 (2)已知 a，b，c 是ABC 的三邊長(zhǎng)，試化簡(jiǎn)： （abc）2（abc）2（bca）2 （cab）2. 【點(diǎn)評(píng)】 (1)對(duì)于二次根式，它有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于或等于 0；(2)注意二次根式性質(zhì)( a)2a(a0)，a2|a|的區(qū)別，判斷出各式的正負(fù)性，再化簡(jiǎn) 原式|abc|abc|bca|cab|(abc)(bca)(cab)(abc)2a2b2c1(1)( 2)2的平方根是_；9 的算術(shù)平方根是_；_是64 的立方根 (2)(2014達(dá)州)二次根式 2x4有意義，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍是( ) Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 (3)如果 （2a1）212a，則( ) Aa12 Ba12 Ca12 Da12 3 -4 D B 二次根式的運(yùn)算 【例 2】 (1)(2014濟(jì)寧)如果 ab0，ab0，那么下面各式：abab，abba1， ababb，其中正確的是( ) A B C D B 解析：ab0，ab0，a0，b0；abab，被開(kāi)方數(shù)應(yīng)0，a，b 不能當(dāng)作被開(kāi)方數(shù)，所以是錯(cuò)誤的； abba1，abbaabba 11 是正確的； ababb， abab ababb abbabb 是正確的故選：B (2)計(jì)算： 243223216； (3)(2012南通)計(jì)算： 48312 12 24. 原式2 6126136136326 【點(diǎn)評(píng)】 (1)二次根式化簡(jiǎn)，依據(jù) ab a b(a0，b0)，abab(a0，b0)，前者將被開(kāi)方數(shù)分解，后者分子、分母同時(shí)乘一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)使分母變成一個(gè)完全平方數(shù)，即可將其移到根號(hào)外；(2)二次根式加減，即化簡(jiǎn)之后合并同類(lèi)二次根式；(3)二次根式乘除結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式 2(1)(2012安順)計(jì)算327的結(jié)果是( ) A3 3 B3 3 C3 D3 (2)(2012福州)若 20n是整數(shù)，則正整數(shù) n 的最小值為_(kāi) 解析： 20n 45n2 5n，當(dāng) n 最小值為 5 時(shí)，5n是完全平方數(shù) (3)(2014撫州)計(jì)算： 27 3_ D 5 二次根式混合運(yùn)算 【例 3】 計(jì)算： (1)(3 21)(13 2)(2 21)2； (2)( 103)2012 ( 103)2013. 【點(diǎn)評(píng)】 (1)二次根式混合運(yùn)算，把若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合在一起，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)；(2)可以運(yùn)用運(yùn)算律或適當(dāng)改變運(yùn)算順序，使運(yùn)算簡(jiǎn)便 3(1)(2014荊門(mén))計(jì)算： 2413418(1 2)0. (2)已知 10的整數(shù)部分為 a，小數(shù)部分為 b，求 a2b2的值 二次根式運(yùn)算中的技巧【例 4】 (1)已知 x2 3，y2 3，求 x2xyy2的值； (2)已知 x1x3，求 x1x的值 【點(diǎn)評(píng)】 (1)x2xyy2是一個(gè)對(duì)稱(chēng)式，可先求出基本對(duì)稱(chēng)式 xy4，xy1，然后將 x2xyy2轉(zhuǎn)化為(xy)2xy，整體代入即可；(2)注意到(x1x)2(x1x)24，可得(x1x)25，x1x5. 4 (1) 已知m 1 2 ， n 1 2 ， 則代數(shù)式m2n23mn的值為( ) A9 B3 C3 D5 解析：m2n23mn m22mnn2mn （mn）2mn，mn1 21 22 2，mn (1 2 )(1 2 ) 1 ， （mn）2mn （2 2）21 93，故選 C C (2)(2014德州)若 yx4 4x22，則(xy)y_； 解析：由題意得x40 且 4x0，解得 x4 且 x4，x4，y2，(xy)y(42)214 (3)已知|63m|(n5)23m6 （m3）n2，則 mn_ 解析：由|63m|(n5)23m6 （m3）n2，得|63m|(n5)2 （m3）n23m6， |63m|(n5)2|n|m33m6，m3，|63m|3m6，(n5)2|n|m30，m30 且 n50，m3，n5，mn352 -2