第三節(jié)等腰三角形與直角三角形知識點一知識點一 等腰三角形等腰三角形 1 1等腰三角形：有等腰三角形：有 _ _ 相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形2 2等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)(1)(1)等腰三角形的兩個底角等腰三角形的兩個底角 _ (_ (簡寫成簡寫成“等邊對等等邊對等角角”) )兩邊兩邊相等相等(2)(2)等腰三角形的頂角等腰三角形的頂角 _、底邊上的、底邊上的 _ _ 、底邊上的高相互重合底邊上的高相互重合( (簡寫成簡寫成“三線合一三線合一”) )(3)(3)等腰三角形是軸對稱圖形，有等腰三角形是軸對稱圖形，有 _ _ 條對稱軸條對稱軸平分線平分線中線中線1 13 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(2)(2)如果一個三角形有兩個如果一個三角形有兩個 _ _ 相等，那么這兩個角所相等，那么這兩個角所對的邊也相等對的邊也相等( (簡寫成簡寫成“等角對等邊等角對等邊”) )角角逆向運用等腰三角形逆向運用等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)也可以判定三的性質(zhì)也可以判定三角形是等腰三角形角形是等腰三角形(1)(1)一邊上的高線與這邊上的中線重合的三角形是等腰三一邊上的高線與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形角形(2)(2)一邊上的高線與這邊所對角的平分線重合的三角形是一邊上的高線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(3)(3)一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形知識點二知識點二 等邊三角形等邊三角形 1 1等邊三角形：三條邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形：三條邊都相等的三角形是等邊三角形2 2等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)(1)(1)等邊三角形的三條邊等邊三角形的三條邊 _，三個角都等于，三個角都等于 _(2)(2)等邊三角形是軸對稱圖形，有等邊三角形是軸對稱圖形，有 _ _ 條對稱軸條對稱軸都相等都相等60603 33 3等邊三角形的判定等邊三角形的判定(1)(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形(2)(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形(3)(3)有一個角等于有一個角等于6060的的 _ _ 是等邊三角形是等邊三角形(4)(4)有兩個角等于有兩個角等于 _的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形等腰三角形等腰三角形6060知識點三知識點三 直角三角形直角三角形 1 1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理(1)(1)勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果用邊的平方如果用a a，b b和和c c分別表示直角三角形的兩直角分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么邊和斜邊，那么a a2 2b b2 2c c2 2. .(2)(2)逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形方，那么這個三角形是直角三角形勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形或勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形或證明線段垂直的重要依據(jù)證明線段垂直的重要依據(jù)2 2直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)(1)(1)直角三角形的兩個銳角直角三角形的兩個銳角 _(2)(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 _ _ (3)(3)在直角三角形中，如果一個銳角等于在直角三角形中，如果一個銳角等于3030，那么它，那么它所對的直角邊等于所對的直角邊等于 _(4)(4)直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于那么這條直角邊所對的角等于 _互余互余一半一半斜邊的一半斜邊的一半30303 3直角三角形的判定直角三角形的判定(1)(1)有一個角是有一個角是 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(2)(2)有兩個角有兩個角 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(3)(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a a，b b，c c滿足滿足a a2 2b b2 2c c2 2，那么這個三角形是直角三角形，那么這個三角形是直角三角形(4)(4)如果三角形一邊上的如果三角形一邊上的 _ _ 等于這邊的一半，那么等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形這個三角形是直角三角形9090互余互余中線中線知識點四知識點四 角平分線與線段的垂直平分線角平分線與線段的垂直平分線1 1角平分線角平分線(1)(1)性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離 _ _ (2)(2)判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離 _的的點在角的平分線上點在角的平分線上相等相等相等相等2 2線段的垂直平分線線段的垂直平分線(1)(1)線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(2)(2)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離端點的距離 _ _ (3)(3)判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的這條線段的 _ _ 上上相等相等垂直平分線垂直平分線知識點五知識點五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 1 1尺規(guī)作圖：我們把只能使用尺規(guī)作圖：我們把只能使用 _ _ 和和 _的的直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖圓規(guī)圓規(guī)沒有刻度沒有刻度2 2常見的五種基本作圖：常見的五種基本作圖：(1)(1)作一條線段等于已知線段；作一條線段等于已知線段；(2)(2)作一個角等于已知角；作一個角等于已知角；(3)(3)作角平分線；作角平分線；(4)(4)過一點作已知直線的垂線；過一點作已知直線的垂線；(5)(5)作線段的垂直平分線作線段的垂直平分線考點一考點一 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年2 2考考) )命題角度命題角度等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點如圖是格點如圖是3 33 3的正方形網(wǎng)格，已知的正方形網(wǎng)格，已知A A，B B是兩格點，在網(wǎng)格中找一點是兩格點，在網(wǎng)格中找一點C C，使得，使得ABCABC為為等腰直角三角形，則這樣的點等腰直角三角形，則這樣的點C C有有( ( ) )A A6 6個個 B B7 7個個 C C8 8個個 D D9 9個個【分析】【分析】 根據(jù)已知條件，分情況進行討論根據(jù)已知條件，分情況進行討論【自主解答】【自主解答】 如圖，如圖，ABAB是腰長時，有是腰長時，有4 4個點可以作為點個點可以作為點C C；ABAB是底邊時，有是底邊時，有2 2個點可以作為點個點可以作為點C.C.所以滿足條件的點所以滿足條件的點C C的個數(shù)是的個數(shù)是4 42 26.6.故選故選A.A.講：分類討論解等腰三角形問題講：分類討論解等腰三角形問題在求解與等腰三角形有關(guān)的問題時，如果腰或者頂角不在求解與等腰三角形有關(guān)的問題時，如果腰或者頂角不確定，那么需要分類討論進行求解，最易犯錯的地方就確定，那么需要分類討論進行求解，最易犯錯的地方就是忽略分類討論，導(dǎo)致漏解是忽略分類討論，導(dǎo)致漏解練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練1 11 1(2017(2017石家莊二模石家莊二模) )若等腰三角形中有一個角等于若等腰三角形中有一個角等于7070，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是( )( )A A7070 B B4040C C7070或或4040 D D7070或或5555C C2 2(2013(2013河北河北) )如圖，一艘海輪位于燈塔如圖，一艘海輪位于燈塔P P的南偏東的南偏東7070方向的方向的M M處，它以每小時處，它以每小時4040海里的速度向正北方向航行，海里的速度向正北方向航行，2 2小時后到達位于燈塔小時后到達位于燈塔P P的北偏東的北偏東4040的的N N處，則處，則N N處與燈處與燈塔塔P P的距離為的距離為( )( )A A4040海里海里 B B6060海里海里 C C7070海里海里 D D8080海里海里D D3 3已知等腰三角形的底邊長為已知等腰三角形的底邊長為10 10 cmcm，一腰上的中線把三，一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長5 5 cmcm，那么這個三角形的腰長為那么這個三角形的腰長為 _cmcm. .命題角度命題角度 1515命題角度命題角度等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)與判定 (2016(2016河北河北) )如圖，如圖，AOBAOB120120，OPOP平分平分AOBAOB，且且OPOP2.2.若點若點M M，N N分別在分別在OAOA，OBOB上，且上，且PMNPMN為等邊三角為等邊三角形，則滿足上述條件的形，則滿足上述條件的PMNPMN有有( )( )A A1 1個個 B B2 2個個C C3 3個個 D D3 3個以上個以上【分析】【分析】 在在OAOA，OBOB上截取上截取OEOEOFOFOPOP，作，作MPNMPN6060，只要證明只要證明PEMPEMPONPON即可推出即可推出PMNPMN是等邊三角形，是等邊三角形，由此即可得出結(jié)論由此即可得出結(jié)論4 4(2017(2017河北模擬河北模擬) )如圖，如圖，ABCABC是等邊三角形，點是等邊三角形，點P P是是三角形內(nèi)的任意一點，三角形內(nèi)的任意一點，PDABPDAB，PEBCPEBC，PFACPFAC，若，若ABCABC的周長為的周長為1212，則，則PDPDPEPEPFPF( )( )A A12 B12 B8 C8 C4 D4 D3 3C C考點二考點二 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年0 0考考) )【分析】【分析】 BCBC邊上的高邊上的高ADAD可能在可能在ABCABC內(nèi)部，也可能在內(nèi)部，也可能在ABCABC外部，故需分情況討論外部，故需分情況討論講：應(yīng)用勾股定理的誤區(qū)講：應(yīng)用勾股定理的誤區(qū)在應(yīng)用勾股定理時，注意以下兩個問題：在應(yīng)用勾股定理時，注意以下兩個問題：(1)(1)使用勾股定使用勾股定理的前提必須是在直角三角形中；理的前提必須是在直角三角形中；(2)(2)當(dāng)直角三角形的斜當(dāng)直角三角形的斜邊不確定時，要注意分類討論邊不確定時，要注意分類討論練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練5 5考點三考點三 直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì) (5(5年年0 0考考) ) 如圖，已知如圖，已知AOBAOB6060，點點P P在邊在邊OAOA上，上，OPOP1010，點，點M M，N N在邊在邊OBOB上，上，PMPMPN.PN.若若MNMN2 2，則則OMOM( )( )A A3 B3 B4 C4 C5 D5 D6 6【分析】【分析】 過點過點P P作作PHPHMNMN于于H H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出求出MHMH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OHOH，計算即可，計算即可直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的性質(zhì)：(1)(1)兩銳角互余；兩銳角互余；(2)(2)勾股定理；勾股定理；(3)(3)斜邊的中線等于斜邊的一半；斜邊的中線等于斜邊的一半；(4)30(4)30角所對的直角所對的直角邊等于斜邊的一半角邊等于斜邊的一半8 8如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，AA5555，將其折疊，使點將其折疊，使點A A落在邊落在邊CBCB上上AA處，折痕為處，折痕為CDCD，則則ADBADB( )( )A A4040 B B3030 C C2020 D D1010C C考點四考點四 角平分線與線段的垂直平分線角平分線與線段的垂直平分線 (5(5年年3 3考考) ) 如圖，如圖，ABCABC中，中，BACBAC6060，BACBAC的平分線的平分線ADAD與邊與邊BCBC的垂直平分線的垂直平分線MDMD相交于相交于D D，DEABDEAB交交ABAB的延長的延長線于線于E E，DFACDFAC于于F F，現(xiàn)有下列結(jié)論：，現(xiàn)有下列結(jié)論：DEDEDFDF；DEDEDFDFADAD；DMDM平分平分EDFEDF；ABABACAC2AE.2AE.其中正確的有其中正確的有( )( )A A1 1個個 B B2 2個個 C C3 3個個 D D4 4個個【分析】【分析】 利用角平分線和垂直平分線的性質(zhì)進行解答，利用角平分線和垂直平分線的性質(zhì)進行解答，同時注意與全等三角形知識的綜合應(yīng)用同時注意與全等三角形知識的綜合應(yīng)用1010(2017(2017石家莊模擬石家莊模擬) )如圖，如圖，ABCABC的三邊的三邊ABAB，BCBC，ACAC的長分別為的長分別為1212，1818，2424，O O是是ABCABC三條角平分線的三條角平分線的交點，則交點，則S SOABOABSSOBCOBCSSOACOAC( )( )A A111 B111 B123 123 C C234 D234 D345345C C1111如圖，如圖，ABCABC中，中，BDBD平分平分ABCABC，BCBC的中垂線交的中垂線交BCBC于于點點E E，交，交BDBD于點于點F F，連接，連接CF.CF.若若AA6060，ACFACF4848，則則ABCABC的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A A4848 B B3636 C C3030 D D2424A A考點五考點五 尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 (5(5年年5 5考考) ) (2017 (2017河北河北) )如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算計算 【分析】【分析】 首先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡進行判斷，然后利用首先根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡進行判斷，然后利用矩形、平行線、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)求解即可矩形、平行線、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)求解即可講：不理解尺規(guī)作圖的依據(jù)致錯講：不理解尺規(guī)作圖的依據(jù)致錯常見的尺規(guī)作圖一般有五種，在復(fù)習(xí)時，要掌握每一種常見的尺規(guī)作圖一般有五種，在復(fù)習(xí)時，要掌握每一種尺規(guī)作圖的基本步驟，并理解其中的作圖依據(jù)，往往因尺規(guī)作圖的基本步驟，并理解其中的作圖依據(jù)，往往因為不理解其中的作圖依據(jù)而出錯為不理解其中的作圖依據(jù)而出錯練：鏈接變式訓(xùn)練練：鏈接變式訓(xùn)練12121212(2014(2014河北河北) )如圖，已知如圖，已知ABC(ACABC(ACBC)BC)，用尺規(guī)，用尺規(guī)在在BCBC上確定一點上確定一點P P，使，使PAPAPCPCBCBC，則符合要求的作圖，則符合要求的作圖痕跡是痕跡是( )( )D D1313(2016(2016河北河北) )如圖，已知鈍角如圖，已知鈍角ABCABC，依，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡步驟步驟1 1：以：以C C為圓心，為圓心，CACA為半徑畫弧為半徑畫??；步驟步驟2 2：以：以B B為圓心，為圓心，BABA為半徑畫弧為半徑畫弧，交弧交弧于點于點D D；步驟步驟3 3：連接：連接ADAD，交，交BCBC延長線于點延長線于點H.H.下列敘述正確的是下列敘述正確的是( )( )A ABHBH垂直平分線段垂直平分線段ADADB BACAC平分平分BADBADC CS SABCABCBCBCAHAHD DABABADADA A