專 題 四專 題 四12345平行于同一直線的兩條直線互相平行；垂直于同一平面的兩條直線互相平行；如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行；如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；在同一平面內(nèi)的兩條直一、判斷線，可依線線平行的方法據(jù)平面幾何的定理證明12345據(jù)定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)；如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行；兩面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面；平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面；平面外的一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平二、判面平行定線面平行的方法，則也平行于另一個(gè)平面1234定義：沒有公共點(diǎn)；如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則兩面平行；垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一三、判定面平面的兩個(gè)面平平行的方法面平行1234兩平行平面沒有公共點(diǎn)；兩平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線平行于另一平面；兩平行平面被第三個(gè)平面所截，則兩交線平行；垂直于兩平行平面中一個(gè)平面的直線，必四、面面平行的垂直于另性質(zhì)一個(gè)平面1234定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直；如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直；如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面；如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面五、判定，那么它也線面垂垂直于直的方另一法個(gè)平面；56如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面；如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么它們的交線垂直于另一個(gè)平面0123459 定義：成角；直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直；在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直；一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，那六、判定么它也和兩線垂直的方法另一條垂直1212903七、判定面面垂直的方法八、面面垂直的性定義：兩面成直二面角，則兩面垂直；一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面垂直于另一平面二面角的平面角為；在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面；相交平面同垂直于第三個(gè)平面，則交線垂直于質(zhì)第三個(gè)平面142/.OABCDABCDABCOAABCDOAMOANBCMNOCD如圖，在四棱錐中，底面是邊長為 的菱形，底面，為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)證明：直線平面例1.考點(diǎn)考點(diǎn)1 空間平行的證明空間平行的證明/OBEMNMNEOCD根據(jù)中點(diǎn)條件，可通過取的中點(diǎn)將條件中的兩個(gè)中點(diǎn)， 聯(lián)系起來，然分后通過證明平面平面可析：證得結(jié)果./././.OBEMENEMEABABCDMECDMEOCDNEOCNEOCDMNEOCDMNOCD取中 點(diǎn)， 連 結(jié)，因 為，所 以所 以平 面，因 為，所 以平 面所 以 平 面平 面，所 以 直 線平 面證 明 ：“”“”“”O(jiān)DFMNCF一 般 地 ， 對 于 用 判 定 定 理 證 明 線 面平 行 ， 即 證 明 平 面 內(nèi) 的 某 條 直 線 與 已 知 直 線 平 行 ，可 根 據(jù) 題 設(shè) 條 件 去 尋 找 這 條 目 標(biāo) 直 線 ， 從 而 達(dá) 到線 線 與 線 面 的 轉(zhuǎn) 化 若 借 助 面 面 平 行 的 性 質(zhì) 來 證明 線 面 平 行 ， 則 先 要 確 定 一 個(gè) 平 面 經(jīng) 過 該 直 線 且與 已 知 平 面 平 行 ， 此 目 標(biāo) 平 面 的 尋 找 多 借 助 中位 線 來 完 成【 思 維 本 題 還 可 通 過 找的 中 點(diǎn)， 通 過證 明為 平 行 四 邊 形 來 證 明 ， 其 過 程啟 迪 】更 為 簡 捷 11111111111/.ABCABCDBCABAC DDBCABDAC D如圖所示，三棱柱， 是上一點(diǎn)，且平面，是的中點(diǎn)求證：平面平面變式題：11111111111111/()/1/./A BDAC DA BAC DA BDA BAC DBDC DBDAC DA BAC DDBC根 據(jù) 面 面 平 行 的 判 定 定 理 ， 要 證 明 平 面平 面， 只 需 證 明 其 中 一 個(gè) 平 面 內(nèi)的 兩 條 相 交 直 線 都 平 行 另 外 一 個(gè) 平 面 結(jié) 合 題設(shè) 條 件 ， 已 知 了平 面， 因 此 ， 只 需在 平 面中 再 找 一 條 直 線 且 與相 交 的平 行 平 面即 可 一 般 先 找 平 面 內(nèi) 現(xiàn) 存 的 直線 ， 通 過 觀 察 分 析 ， 則當(dāng) 然 此 題 需 要 注 意 隱 含 條 件 的 挖 掘 ， 即 由平 面知 ，分是析 ：的 中 點(diǎn) 1111111111./A CACEA ACCEA CEDA BAC DA BCAC DEDA BED連 結(jié)交于 點(diǎn)， 因 為 四 邊 形是 平 行 四 邊 形 ， 所 以是的 中 點(diǎn) 連 結(jié)因 為平面， 平 面平 面， 所 以證 明 ：，111111111111111/./AEA CDBCDB CBDC DBDAC DABDAC DBAC DA BBDB因 為是的 中 點(diǎn) ， 所 以是的 中 點(diǎn) 又 因 為是的 中 點(diǎn) ，所 以， 所 以平 面，又所 以 平 面平 面平 面， 且， 9022.12PABCDABCBCDABBCPBPCCDPBCABCDOBCPDACPADPAB 如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，側(cè)面底面， 是中點(diǎn)求證：；求證：平面平面例2.考點(diǎn)考點(diǎn)2 空間垂直的證明空間垂直的證明 12POABCDACODPDAC第小 題 的 解 答 首 先 可 通 過 兩 個(gè) 平 面 垂直 的 性 質(zhì) 定 理 證 明底 面， 然 后 通 過平 面 幾 何 的 知 識(shí) 證 明， 最 后 利 用 三 垂線 定 理 即 可 證 明；第小 題 要 證 面 面 垂 直 ， 先 證分 析 ：線 面 垂 直 1.PBPCOBCPOBCPBCABCDPOABCDOA因 為，為中 點(diǎn) ， 所 以， 又 側(cè) 面底 面， 所 以底 面， 連 結(jié)證 明 ：222222152152.OAABOBABBCADABBCADOAAODOCCDCODACODPDAC 則，又， 所 以，所 以 點(diǎn)在的 中 垂 線 上 ，又， 所 以 點(diǎn)在的 中 垂 線 上 ，于 是， 所 以 由 三 垂 線 定 理 ， 得 .1/2/2/.PBNCNPCBCCNPBABBCPBCABCDABPBCABPABPBCPABCNPABPAMDMMNMN AB CDMNABCDMNCPDCN DMDMPABDMADPAD取的中點(diǎn) ，連結(jié)，因?yàn)?，所以因?yàn)椋移矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面由、知平面取的中點(diǎn)，連結(jié)，則由，得四邊形為平行四邊形，所所以平面以，所以平面因?yàn)槠矫?，平?PAB “”“”“/”“1”2POABCDACODCN MDCNPABMDPAB本題是一道以棱錐為載體考查空間位置與空間計(jì)算的綜合題，解答此類題的關(guān)鍵是要注意利用棱錐的相關(guān)性質(zhì)第小題的證明有兩個(gè)關(guān)鍵：一是證明平面；二是證明；第小題證明的難度相對大一些，表現(xiàn)兩個(gè)方面：一是輔助線的作法；二是須利用將“平面”轉(zhuǎn)化【思維為平面啟迪】1602.PABCDABCDBCDECDPAABCDPAPBEPAB如圖所示，四棱錐的底面是邊長為 的菱形， 是的中點(diǎn)，底面，證明：平面平面變式題：.60BDABCDBCDBCD如 圖 所 示 ， 連 結(jié)由是 菱 形 且知 ，是 等證 明 ：邊三 角 形 /.ECDBECDABCDBEABPAABCDBEABCDPABEPAABABEPABBEPBEPBEPAB因 為是的 中 點(diǎn) ， 所 以， 又， 所以又 因 為平 面，平 面，所 以而， 因 此平 面又平 面， 所 以 平 面平 面 111111111190222.12ABCDABC DABCDBADADCABADCDACBBC CABPDPBCBACB 直棱柱中，底面是直角備梯形，求證：平面；在上是否存一點(diǎn) ，選使得與平面、平面都平行？證明你例題：的結(jié)論 112()()ACBBACBCP第小 題 只 須 證 明由 側(cè) 棱 與 底面 垂 直 可 證 明 ，可 通 過 計(jì) 算 求 得 ， 由此 得 結(jié) 論 ； 第小 題 可 先 假 設(shè) 存 在 點(diǎn)， 然 后 以此 為 條 件 ， 與 已 知 的 條 件 相 互 結(jié) 合 進(jìn) 行 推 理分 析 ：、 論 證 111111111111.902222452.1ABCDABC DBBABCDBBACBADADCABADCDACCABBCBCACBBBCBBBBCBBC CACBBC C 四棱柱中，平面，所以又因?yàn)?，所以，所以，所以又，平面，所以面：平?證解析明 1111111111111111111/.2/.1/2/./.2PPABPABPBABPBABDC ABDCABDC PBDCPBDCB PCBDPCBACBDPACBDPACBCDPBCBBBCBDPBCB存在點(diǎn) ， 為的中點(diǎn)由 為的中點(diǎn)，有，且又因?yàn)椋?，且，所以四邊形為平行四邊形，從而又平面，平面，所以平面而證明：所以平同時(shí)，面平面，平面 12ABCDBCAC第小題的關(guān)鍵是挖掘直角梯形中，第小題的解答明確給出解答立體幾何中的探索性問題的常規(guī)方法，同時(shí)要求考生熟練掌握一個(gè)常用結(jié)論：若要證一條直線與一個(gè)平面平行，只要證這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行即可同時(shí)注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性，這里只需要指出結(jié)論并驗(yàn)證其充分性即可，當(dāng)然亦可以先探求結(jié)論，【思再維啟迪】證明之1將平面圖形沿直線翻折成立體圖形，實(shí)際上是以該直線為軸的一個(gè)旋轉(zhuǎn)求解翻折問題的基本方法：先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結(jié)為一個(gè)條件與結(jié)論均明朗化的立體幾何問題)2(在解決空間位置關(guān)系的問題的過程中，注意幾何法與向量法結(jié)合起來使用若圖形易找線、面的位置關(guān)系 例如平面的垂線易作等 ，則用幾何法較簡便，否則用向量法而用向量法，一般要求先求出直線的方向向量以及平面的法向量，然后考慮兩個(gè)相關(guān)的向量是否平行或垂直()(34)()對于空間線面位置的探索性問題，有的是運(yùn)用幾何直觀大膽猜測后推理驗(yàn)證，有的是直接建系后進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)兩種辦法相結(jié)合，它因結(jié)果的不確定性，增強(qiáng)能力考查，而成為新高考的熱點(diǎn)重視轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，如面面平行或垂直 問題轉(zhuǎn)化為線面平行 或垂直 問題，也可繼續(xù)轉(zhuǎn)化為線線平行 或垂直問題來處理123122313122313123123123123 A/B/C/1.(20 1D1)/lllllllllllllllllllllllllll， ， 是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是， ，共面 ， ，共點(diǎn)，四，川卷共面1212231313AAB90 ./90CCBDDllllllllll對于，通過常見的圖形正方體，從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，得到錯(cuò)；對于 ，因?yàn)?，所?， 所成的角是又因?yàn)椋?， 所成的角是，所以，得到；對于 ，例如三棱柱中的三側(cè)棱平行，但不共面，故 錯(cuò)；對于，例如三棱錐的三側(cè)棱共點(diǎn)，但不共面解：對，故析錯(cuò) 160/2.(2011) .2PABCDPADABCDABADBADEFAPADEFPCDBEFPAD如圖，在四棱錐中，平面平面， 、分別是、的中點(diǎn)求證：直線平面；面平面江蘇卷平 /.1/./PADEFAPADEFPDEFPCDPDPCDEFPCD在中 ，因 為、分 別 為、的 中 點(diǎn) ，所 以又 因 為平 面，平 面，所 以平 面證 明 ： .60.2.BDABADBADABDFADBFADPADABCDBFPADBFBEFBEFPAD連 結(jié)因 為，所 以為 正 三 角 形 因 為是的 中 點(diǎn) ，所 以因 為 平 面平 面，所 以平 面又 因 為平 面， 所 以 平 面平 面