專 題 七 222222222222222211(0)20 *0*000 xylykxmCababba kxa kmxa ma bba klClClC 直線與橢圓的位置關(guān)系將直線 ：代入橢圓 ： 得由 ，知方程為二次方程，則當(dāng) 時(shí)，與 相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 與 相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)， 與 相離，無(wú)公共點(diǎn) 222222222222221(00)20 *lykxmxyCababba kxa kmxa ma bbkaykxmbka 直線與雙曲線的位置關(guān)系將直線 ：代入雙曲線 ： ， 得當(dāng)時(shí)，方程為一次方程，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行當(dāng)時(shí)，方程為二次方程，這時(shí)與判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法一樣，利用判別式分三種情況來(lái)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系 222232(0)20 *0*()0*lykxmCypx pk xkmp xmkykxmxk直線與拋物線的位置關(guān)系將直線 ：代入拋物線 ： ，得當(dāng)時(shí)，方程為一次方程，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸 軸 平行當(dāng)時(shí)，方程為二次方程，此時(shí)與判斷直線和橢圓、雙曲線位置關(guān)系的方法一樣，利用判別式分三種情況來(lái)判斷直線與拋物線的位置關(guān)系5 122212123212.24210().123kkkkGxFFGFFCxykxykAGA FFCGR已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 和 ，橢圓 上一點(diǎn)到 和 的距離之和為圓 ：的圓心為點(diǎn)求橢圓 的方程例1：；求的面積；問(wèn)是否存在圓包圍橢圓 ？請(qǐng)說(shuō)明理由 考點(diǎn)1 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 123Ak第小題根據(jù)橢圓離心率與定義，利用待定系數(shù)法求解；第小題只要確定出 點(diǎn)的縱坐標(biāo)就可求得面積；第小題對(duì) 的取值進(jìn)行討論，確定橢圓和圓的包分析：含關(guān)系 22222222221(0)94.15521.45xyGabababacbbaxyG設(shè)橢圓 的方程為： ，半焦距為 則，解得，故橢圓 的方程為解析： 112222222222(0)()()548420054 2084 5442005420.lykxm kM xyN xyykxmkxkmxmkkmkmmk 設(shè)直線 的方程為，并設(shè)，將代入雙曲線方程得，則，整理得 00120002222()4525454514()5454MNxyxxkmmxykxmkkMNmkmyxxykkk 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，滿足，從而線段的垂直平分線的方程為，此直線與 軸， 軸的2222222299(0) (0)545419981| |2 5454254 20.|454500550245555()(0)(0)()4224kmmkkkmmkkkmkkkkkkkkk 交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題設(shè)可得，整理得，由代入得 ，解得 或 ，所以 的取值范圍是， 12112| | |124OxllFlllABOAABOBBFFAAB 雙曲線的中心為原點(diǎn) ，焦點(diǎn)在 軸上，兩條漸近線分別為 、 ，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) 垂直于 的直線分別交 、 于 、 兩點(diǎn)已知、成等差數(shù)列，且與同向求雙曲線的離心率；設(shè)被雙曲線所截例2得的線段的長(zhǎng)為 ，求雙曲線：的方程考點(diǎn)2 直線與圓錐曲線相交和其他知識(shí)的交匯 21| | |Rttantan221OAABOBOAmdABm OBmdOABmdAOBAOFab ceABAByABkx 第問(wèn)可根據(jù)、成等差數(shù)列可巧設(shè)，然后在中利用勾股定理確定 與 的關(guān)系，再利用轉(zhuǎn)化求解，最后結(jié)合 、 、 間的關(guān)系求得 ；第問(wèn)先確立直線的方程，再聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可消去 ，最后利用：弦公析長(zhǎng)式分2121 24xx x 求解 22222222221(00),0 0.|1.42.4tantan31xyaabbF cccabOAmdABmOBmdmdmmddmBFFAAOBAOFbAOFAOBa 設(shè)雙曲線的方程為，右焦點(diǎn)，則設(shè)，則，得因?yàn)榕c同向，所以又，解析：， 222212413215.2244.15222(5 )bbabaaeabxyblcbAByxb 所以，解得，所以雙曲線的離心率由知，雙曲線的方程可化為由 的斜率為 ，知，直線的方程為，22112212212221212221532 5840()()32 58415151251244361.369xbxbABA xyB xyxxbbx xABdxxxxx xdbbaxy 將代入得，設(shè)與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，、，則，被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)為，將代入得，所以，所以雙曲線的方程為本題是一道與向量、數(shù)列、三角的交匯綜合題，但主體上還是以雙曲線為主，涉及主要知識(shí)與方法：等差數(shù)列的巧設(shè)、三角函數(shù)的二倍角公式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及待定系數(shù)法、方程【評(píng)析】思想等。 2,1(01)2,10,112ABCDEMADtABBEtBC DMtDEtDEM 如圖，三定點(diǎn)變， ，三動(dòng)點(diǎn) ， ，滿足，求動(dòng)直線斜率的變化范圍；求動(dòng)點(diǎn) 的軌試題跡方程 00()()()tt(21)( 22)222.2121212112 .2220,1111,EEDDDEDEEDDEEDDED xyE xyM xyADAB BEBCxytxtxtytytyyttktxxtttk 設(shè)， 由，知，所以同理所以所以，解所以析： 22222t(2221)222,21212,422 122 ,421244 .0,12 122,24 (2)2,2DMDExtyttttttttxtxtttyytxytxtMxy x 因?yàn)椋?，所以，所以，即因?yàn)?，所以所以所求?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 1,01.12,00CyCFyCmM mCABFA FBm 已知一條曲線 在 軸右邊， 上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到 軸距離的差都是求曲線 的方程；是否存在正數(shù) ，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn) ， 的任一直線，都有？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)備選例題明理由 11221()2()()0Px yx yCyA xyB xyFA FBm 第小題首先設(shè)出點(diǎn) 的坐標(biāo) ， ，然后利用條件關(guān)系建立關(guān)于，的方程，再化簡(jiǎn)；第小題首先設(shè)直線方程，然后代入曲線 的方程得到關(guān)于的二次方程，再利用點(diǎn)， ， 的坐標(biāo)表示出向量與，進(jìn)而利用條件，并結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行處理，從而建立關(guān)于 的恒不等式，再利用處理不等式恒成立的分析：方法解答 2221122212221 21()()110402,0()().4444016160.4P x yCP x yxyxxyx xM mlCA xyx ty mB xylx ty myxyytytymtmy ym 設(shè)， 是曲線 上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)，滿足：，化簡(jiǎn)得設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線 交于， ， ，的方程為由，得，：，于析是解112221 212122222121212221212121222(1)(1)010.4()101644()2101641684104FAxyFBxyFA FByx xxxy yxy yyyy yy yyyy yy ytmmm 又，由，得又，所以22261461032 232 2.,00(32 232 2)mmttmmmmM mCA BFA FBm R 對(duì)任意的恒成立，所以，即由此可見(jiàn)，存在正數(shù) ，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn) 、 的任一直線，都有，且 的取值范圍是， 123此類題型主要考查以圓錐曲線為載體，利用曲線方程的性質(zhì)探求下面三個(gè)方面的典型問(wèn)題：探索曲線上點(diǎn)的存在性； 探索直線與曲線位置關(guān)系中直線的存在性； 探索直線與圓錐曲線位置關(guān)系中涉及到參數(shù)的存在性解答此類問(wèn)題須根據(jù)圓錐曲線的方程及性質(zhì)等，通過(guò)觀察分析，“創(chuàng)造性”地綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題其過(guò)程主【評(píng)析】要體現(xiàn)為：觀察猜測(cè)抽象概括證實(shí) 1121()()0yxxy直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷主要有兩類題型：判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系； 根據(jù)位置關(guān)系求解參數(shù)等相關(guān)的問(wèn)題解答策略： 主要是聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程消去 或 得到關(guān)于 或 一元二次方程，注意考慮是否需要對(duì)首項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不為 時(shí)，利用判別式即可解答； 23判斷含有參數(shù)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，如果能確定出直線過(guò)一定點(diǎn)，而定點(diǎn)又在圓錐曲線的內(nèi)部，則可迅速判斷直線與圓錐曲線相交或建立不等式求解參數(shù)范圍； 有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便 1()22.直線與圓錐曲線相交弦問(wèn)題主要有兩類題型：直線與圓錐曲線包括圓的相交弦所得弦的中點(diǎn)問(wèn)題，主要包括求中點(diǎn)弦所在直線的方程與已知弦的中點(diǎn)求解參數(shù)問(wèn)題 求相交弦的長(zhǎng)，主要包括求已知直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)、已知弦長(zhǎng)求參數(shù)的值或取值范圍 lCA B解答策略：解答相交弦的中點(diǎn)問(wèn)題主要有兩種思路：一是韋達(dá)定理法：將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解；二是點(diǎn)差法：若直線與圓錐曲線 有兩個(gè)交點(diǎn) 和 ，11221212()()12123()A xyB xyxxyyxxyy一般地，首先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)， ，代入曲線方程，通過(guò)作差，構(gòu)造出，從而建立了中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系涉及到圓錐曲線焦點(diǎn)弦的問(wèn)題：由于涉及到焦點(diǎn)，因此可以利用圓錐曲線的焦半徑公式即圓錐曲線的第二定義，應(yīng)掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法212225(0)425536 A ( 29) B (05)C (29) 1.(2011 D 1),6yxaxaxxxy 在拋物線上取橫坐標(biāo)為，的兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，四川卷21002100222()2.2221( 14)421260.0,0| 6|60()4.5214(522)99yyxykxxayxaaxaxayaaxaxydaaayxxx 切設(shè)拋物線上的切點(diǎn)為，由得，因此切點(diǎn)為，切線方程為，即由圓心到解析：所以頂點(diǎn)切線的距離得坐標(biāo)為舍去 或因?yàn)閽佄锞€方程為， 112212121222121120.122.(202111)lyk xlyk xkkk kllllxy設(shè)直線 ：， ：，其中實(shí)數(shù) ，滿足證明：與 相交；與 的安徽卷交點(diǎn)在橢圓上 1212121 2112122020.1llllkkk kkkkkll假設(shè) 與 不相交，則 與 平行，有，代入，得這與 為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾從而，即 與反證法：解析相交35 1221212122222121212222211221222221122122112().222()()8241.24()1212yk xPyk xxkkxykkykkkkxykkkkkkk kkkkkk kkkP xyxy由方程組，解得交點(diǎn) 的坐標(biāo)，為而即方法 ：交點(diǎn)，在橢圓上3612112222221()110.20111202212.1yk xPxyyk xykxxk kykxyyxyxxPxy交點(diǎn) 的坐標(biāo)，滿足，故知從而，代入，得整理后，得，所以交點(diǎn) 在橢方：圓法上