第4講 古典概型與幾何概型1.古典概型.(1)理解古典概型及其概率計(jì)算公式.(2)會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.2.隨機(jī)數(shù)與幾何概型.(1)了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.(2)了解幾何概型的意義.1.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性_.相等3.古典概型的概率公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有 n 個(gè)，而且所有結(jié)果出模型即為古典概型.如果某個(gè)事件 A 包括的結(jié)果有 m 個(gè)，那么事件 A 的概率P(A)_.4.幾何概型長度如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.5.幾何概型中，事件 A 的概率計(jì)算公式6.要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè).(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.注意：幾何概型的試驗(yàn)中，事件 A 的概率 P(A)只與子區(qū)域 A 的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與 A 的位置和形狀無關(guān)；求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可求解.1.(2013 年江西)集合 A2,3，B1,2,3，從 A，B 中各取任意一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于 4 的概率是()C2.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，則甲被選中的概率為()C3.(2013 年福建)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機(jī)數(shù) a，則事件“3a10”發(fā)生的概率為_.4.如圖9-4-1的矩形，長為 5，寬為 2.在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒 300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為 138 顆.則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為_.圖 9-4-1考點(diǎn) 1 古典概型例1：(1)(2014年江西，人教版必修3P127-例3)擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為 5 的概率等于()解析：擲兩顆均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)的所有可能情況有 6636(種)，其中兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為 5 的事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，答案：B答案：C(2)(2014年湖北)隨機(jī)投擲兩枚均勻的骰子，他們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率為p2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為p3，則()A.p1p2p3 B.p2p1p3C.p1p3p2 D.p3p1p2【規(guī)律方法】本題是考查古典概型，利用公式 P(A).古典概型必須明確判斷兩點(diǎn)：對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，所有可能出現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù) n 必須是有限個(gè)；出現(xiàn)的所有不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù) m 其可能性大小必須是相同的.解決這類問題的關(guān)鍵是列舉做到不重不漏.【互動(dòng)探究】1.(2014 年四川)一個(gè)盒子里裝有 3 張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這 3 張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取 3次，每次抽取 1 張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為 a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字 a，b，c 不完全相同”的概率.解：(1)由題意，(a，b，c)的所有可能有 33327(種).設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足 abc”為事件 A，則事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 種，(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字 a，b，c 不完全相同”為事件 B，考點(diǎn) 2 幾何概型例 2：(1)在面積為 S 的ABC 的邊 AB 上任取一點(diǎn) P，則解析：取 AB 的三等分點(diǎn)P，如圖D49，如果在線段BP 上圖 D49答案：A(2)向面積為 S 的ABC 內(nèi)任投一點(diǎn) ，則PPBC 的面積小圖 D50答案：34【規(guī)律方法】應(yīng)用幾何概型求概率的步驟：把每一次試驗(yàn)當(dāng)做一個(gè)事件，看事件是否是等可能的且事件的個(gè)數(shù)是否是無限個(gè)，若是則考慮用幾何概型；將試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量；,將幾何概型轉(zhuǎn)化為長度、面積、體積之比，應(yīng)用幾何概型的概率公式求概率.【互動(dòng)探究】2.(2014 年遼寧)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖 9-4-2 所示的長方形 ABCD 中，其中 AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是()圖 9-4-2答案：B考點(diǎn) 3 兩種概型與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用例 3：甲、乙兩人約定上午 9 時(shí)至12 時(shí)在某地時(shí)見面，并約定任何一個(gè)人先到之后等另一個(gè)人不超過一個(gè)小時(shí)，一小時(shí)之內(nèi)若對(duì)方不來，則離去.如果他們兩人在 9 時(shí)到 12 時(shí)之間的任何時(shí)刻到達(dá)約定地的概率都是相等的，求他們見到面的概率.思維點(diǎn)撥：(1)考慮甲、乙兩人分別到達(dá)某處的時(shí)間.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別用x 軸、y 軸表示甲、乙到達(dá)約會(huì)地時(shí)的時(shí)間，用 0 時(shí)到 3 時(shí)表示9 時(shí)至12 時(shí)的時(shí)間段，則試驗(yàn)發(fā)生包含的條件是(x ，y)|0 x3,0y3.(2) 兩人能會(huì)面的時(shí)間必須滿足|x y|1.這就將問題化歸為幾何概型問題.解：設(shè)9 時(shí)后過了x 小時(shí)甲到達(dá)，9 時(shí)后過了y 小時(shí)乙到達(dá)，取點(diǎn) Q(x，y)，則 0 x3,0y3.兩人見到面的充要條件是|xy|AC|的概率為()正解：如圖9-4-4，取 ADAC，A30，此時(shí)ACD75，則BCD15.欲使|AM|AC|，CM必須在BCD內(nèi)，其圖 9-4-4答案：B(2)在直角三角形 ABC 中，A30，在斜邊 AB 上任取一點(diǎn) M，則使|AM|AC|的概率為()答案：C【失誤與防范】請(qǐng)注意兩題的區(qū)別“過直角頂點(diǎn) C 作射線CM 交線段 AB 于 M”與“在斜邊 AB 上任取一點(diǎn) M”，前者CM 在直角內(nèi)等可能，結(jié)果應(yīng)該為角度的比；后者 M 為斜邊AB上任一點(diǎn)，結(jié)果應(yīng)該為斜邊 AB 上的長度比.