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導數(shù)的綜合運用 題型一導數(shù)與函數(shù)圖象 點評 給定解析式求函數(shù)的圖象是近幾年高考重點 并且難度在增大 多數(shù)需要利用導數(shù)研究單調(diào)性知其變化趨勢 利用導數(shù)求極值 最值 研究零點 2015 杭州質(zhì)檢 設函數(shù)f x x2sinx 則函數(shù)f x 的圖象可能為 對點訓練 解析 因為f x x 2sin x x2sinx f x 所以f x 是奇函數(shù) 又因為f x 2xsinx x2cosx 所以f 0 0 排除A 且當x 0 時 函數(shù)值為正實數(shù) 排除B 當x 2 時 函數(shù)值為負實數(shù) 排除D 故選C 例2 2015 滄州七校聯(lián)考 設a為實數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 2 求證 當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 思路 1 令f x 0 求極值點 然后討論在各個區(qū)間上的單調(diào)性 2 構造函數(shù)g x ex x2 2ax 1 x R 注意到g 0 0 只需證明g x 在 0 上是增函數(shù) 可利用導數(shù)求解 題型二導數(shù)與不等式 解析 1 由f x ex 2x 2a x R 得f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 故f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ln2 單調(diào)遞增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 設g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當a ln2 1時 g x 最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對任意x R 都有g x 0 所以g x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當a ln2 1時 對任意x 0 都有g x g 0 又g 0 0 從而對任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 點評 利用導數(shù)工具 證明不等式的關鍵在于要構造好函數(shù)的形式 轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值或值域問題 有時需用到放縮技巧 求證不等式f x g x 一種常見思路是用圖像法來說明函數(shù)f x 的圖像在函數(shù)g x 圖像的上方 但通常不易說明 于是通常構造函數(shù)F x f x g x 通過導數(shù)研究函數(shù)F x 的性質(zhì) 進而證明欲證不等式 對點訓練 題型三導數(shù)與方程 點評 討論方程根的個數(shù)或函數(shù)的零點 關鍵根據(jù)題意 畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律 標明函數(shù)極 最 值的位置 通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析解決 對點訓練 例4 2015 江蘇連云港二調(diào) 一個圓柱形圓木的底面半徑為1m 長為10m 將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分 現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁 長度保持不變 底面為等腰梯形ABCD 如圖所示 其中O為圓心 C D在半圓上 設 BOC 木梁的體積為V 單位 m3 表面積為S 單位 m2 題型四導數(shù)與最優(yōu)化問題 1 求V關于 的函數(shù)表達式 2 求 的值 使體積V最大 3 問當木梁的體積V最大時 其表面積S是否也最大 請說明理由 點評 生活中求利潤最大 用料最省 效率最高等問題稱之為優(yōu)化問題 導數(shù)是解決生活中優(yōu)化問題的有力工具 用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路是 優(yōu)化問題 用函數(shù)表示的數(shù)學問題 用導數(shù)解決數(shù)學問題 優(yōu)化問題的答案