專題10數(shù)學(xué)思想方法 第45練數(shù)形結(jié)合思想 思想方法解讀 數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法 包含 以形助數(shù) 和 以數(shù)輔形 兩個方面 其應(yīng)用大致可以分為兩種情形 借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系 即以形作為手段 數(shù)作為目的 比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì) 借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性 即以數(shù)作為手段 形作為目的 如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系 既分析其代數(shù)意義 又揭示其幾何直觀 使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙 和諧地結(jié)合在一起 充分利用這種結(jié)合 尋找解題思路 使問題化難為易 化繁為簡 從而得到解決 數(shù)形結(jié)合的思想 其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來 關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化 它可以使代數(shù)問題幾何化 幾何問題代數(shù)化 在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時 要注意三點 第一要徹底明 白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征 對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義 第二是恰當(dāng)設(shè)參 合理用參 建立關(guān)系 由數(shù)思形 以形想數(shù) 做好數(shù)形轉(zhuǎn)化 第三是正確確定參數(shù)的取值范圍 數(shù)學(xué)中的知識 有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合 如 銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的 任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一數(shù)形結(jié)合在方程根的個數(shù)中的應(yīng)用 題型二利用數(shù)形結(jié)合解決不等式參數(shù)問題 題型三利用數(shù)形結(jié)合求最值 常考題型精析 題型一數(shù)形結(jié)合在方程根的個數(shù)中的應(yīng)用 點評利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點 1 討論方程的解 或函數(shù)的零點 可構(gòu)造兩個函數(shù) 使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題 但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性 全面性 否則會得到錯解 2 正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵 數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用 不要刻意去數(shù)形結(jié)合 變式訓(xùn)練1若函數(shù)f x 有且只有兩個不同的零點 則實數(shù)k的取值范圍是 A 4 0 B 0 C 4 0 D 0 解析當(dāng)x 0時 f x lnx與x軸有一個交點 即f x 有一個零點 顯然k 0不符合題意 若k 0 顯然函數(shù)h x 與g x kx2在x 0時只有一個交點 即原點O 綜上 所求實數(shù)k的取值范圍是 0 故選B 答案B 題型二利用數(shù)形結(jié)合解決不等式參數(shù)問題 變形得 x 2 2 y2 4 y 0 即表示以 2 0 為圓心 2為半徑的圓的上半圓 當(dāng)1 a 6 即a 5時 f x g x 點評利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)的方法求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象 根據(jù)不等式中量的特點 選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€ 或多個 函數(shù) 利用兩個函數(shù)圖象的上 下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決問題 往往可以避免煩瑣的運算 獲得簡捷的解答 變式訓(xùn)練2若存在正數(shù)x使2x x a 1成立 則a的取值范圍是 A B 2 C 0 D 1 在直角坐標(biāo)系中 作出函數(shù)f x x a g x 2 x的圖象 如圖 當(dāng)x 0時 g x 2 x0 使2x x a 1 所以選D 答案D 題型三利用數(shù)形結(jié)合求最值 例3 2014 北京 已知圓C x 3 2 y 4 2 1和兩點A m 0 B m 0 m 0 若圓C上存在點P 使得 APB 90 則m的最大值為 A 7B 6C 5D 4解析根據(jù)題意 畫出示意圖 如圖所示 則圓心C的坐標(biāo)為 3 4 半徑r 1 且 AB 2m 要求m的最大值 即求圓C上的點P到原點O的最大距離 即m的最大值為6 答案B 點評利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟第一步 分析數(shù)理特征 確定目標(biāo)問題的幾何意義 一般從圖形結(jié)構(gòu) 圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義 第二步 轉(zhuǎn)化為幾何問題 第三步 解決幾何問題 第四步 回歸代數(shù)問題 第五步 回顧反思 應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式 主要有 1 比值 可考慮直線的斜率 2 二元一次式 可考慮直線的截距 3 根式分式 可考慮點到直線的距離 4 根式 可考慮兩點間的距離 變式訓(xùn)練3已知P是直線l 3x 4y 8 0上的動點 PA PB是圓x2 y2 2x 2y 1 0的兩條切線 A B是切點 C是圓心 求四邊形PACB面積的最小值 解從運動的觀點看問題 當(dāng)動點P沿直線3x 4y 8 0向左上方或右下方無窮遠處運動時 當(dāng)點P從左上 右下兩個方向向中間運動時 S四邊形PACB變小 顯然 當(dāng)點P到達一個最特殊的位置 即CP垂直直線l時 S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值 高考題型精練 1 2014 福建 已知函數(shù)f x 則下列結(jié)論正確的是 A f x 是偶函數(shù)B f x 是增函數(shù)C f x 是周期函數(shù)D f x 的值域為 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 則x2 y2 1 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 作出圖象如圖 而y1 x k中 k是直線的縱截距 由圖知 方程有一個解 直線與上述半圓只有一個公共點 k 或 1 k 1 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 已知點P x y 的坐標(biāo)x y滿足則x2 y2 6x 9的取值范圍是 A 2 4 B 2 16 C 4 10 D 4 16 解析畫出可行域如圖 高考題型精練 所求的x2 y2 6x 9 x 3 2 y2是點Q 3 0 到可行域上的點的距離的平方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 由圖形知最小值為Q到射線x y 1 0 x 0 的距離d的平方 最大值為 QA 2 16 取值范圍是 2 16 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 4 已知a b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量 若向量c滿足 a c b c 0 則 c 的最大值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 O A C B四點共圓 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 5 已知函數(shù)f x 滿足下面關(guān)系 f x 1 f x 1 當(dāng)x 1 1 時 f x x2 則方程f x lgx解的個數(shù)是 A 5B 7C 9D 10解析由題意可知 f x 是以2為周期 值域為 0 1 的函數(shù) 又f x lgx 則x 0 10 畫出兩函數(shù)圖象 則交點個數(shù)即為解的個數(shù) 由圖象可知共9個交點 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 6 若過點A 4 0 的直線l與曲線 x 2 2 y2 1有公共點 則直線l的斜率的取值范圍是 解析設(shè)直線方程為y k x 4 即kx y 4k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 直線l與曲線 x 2 2 y2 1有公共點 答案C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 對于集合B x 1 2 y 1 2 1表示以 1 1 為圓心 1為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域 其面積為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 8 2014 山東 已知函數(shù)y f x x R 對函數(shù)y g x x I 定義g x 關(guān)于f x 的 對稱函數(shù) 為函數(shù)y h x x I y h x 滿足 對任意x I 兩個點 x h x x g x 關(guān)于點 x f x 對稱 若h x 是g x 關(guān)于f x 3x b的 對稱函數(shù) 且h x g x 恒成立 則實數(shù)b的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析由已知得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 由圖知 方程在 0 2 內(nèi)有相異實根 的充要條件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求 的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 10 已知函數(shù)f x logax x b a 0 且a 1 當(dāng)20 因此函數(shù)必在區(qū)間 2 3 內(nèi)存在零點 故n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10