專題3函數與導數 第12練導數幾何意義的必會題型 題型分析 高考展望 本部分題目考查導數的幾何意義 函數f x 在x x0處的導數即為函數圖象在該點處的切線的斜率 考查形式主要為選擇題和填空題或者在綜合題的某一步中出現 難度為低中檔 內容就是求導 注意審題是過點 x0 y0 的切線還是在點 x0 y0 處的切線 常考題型精析 高考題型精練 題型一直接求切線或切線斜率問題 題型二導數幾何意義的綜合應用 ?？碱}型精析 題型一直接求切線或切線斜率問題 例1 1 2015 課標全國 已知函數f x ax3 x 1的圖象在點 1 f 1 處的切線過點 2 7 則a 解析f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 1 f 1 處的切線方程為y a 2 1 3a x 1 將 2 7 代入切線方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 1 2 2014 大綱全國 曲線y xex 1在點 1 1 處切線的斜率等于 A 2eB eC 2D 1解析y ex 1 xex 1 x 1 ex 1 故曲線在點 1 1 處的切線斜率為y x 1 2 C 點評導數幾何意義的應用 需注意以下兩點 1 當曲線y f x 在點 x0 f x0 處的切線垂直于x軸時 函數在該點處的導數不存在 切線方程是x x0 2 注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線 曲線y f x 在點P x0 f x0 處的切線方程是y f x0 f x0 x x0 求過某點的切線方程 需先設出切點坐標 再依據已知點在切線上求解 答案 1 題型二導數幾何意義的綜合應用 例2 2014 福建 已知函數f x ex ax a為常數 的圖象與y軸交于點A 曲線y f x 在點A處的切線斜率為 1 1 求a的值及函數f x 的極值 解由f x ex ax 得f x ex a 又f 0 1 a 1 得a 2 所以f x ex 2x f x ex 2 令f x 0 得x ln2 當xln2時 f x 0 f x 單調遞增 所以當x ln2時 f x 取得極小值 且極小值f ln2 eln2 2ln2 2 ln4 f x 無極大值 2 證明 當x 0時 x20 故g x 在R上單調遞增 又g 0 1 0 因此 當x 0時 g x g 0 0 即x2 ex 3 證明 對任意給定的正數c 總存在x0 使得當x x0 時 恒有x20時 x20時 x2 cex 取x0 0 當x x0 時 恒有x2 cex 而要使ex kx2成立 則只要x ln kx2 即x 2lnx lnk成立 所以當x 2時 h x 0 h x 在 2 內單調遞增 取x0 16k 16 所以h x 在 x0 內單調遞增 又h x0 16k 2ln 16k lnk 8 k ln2 3 k lnk 5k 易知k lnk k ln2 5k 0 所以h x0 0 綜上可知 對任意給定的正數c 總存在x0 當x x0 時 恒有x2 cex 方法二對任意給定的正數c 取x0 因此 對任意給定的正數c 總存在x0 當x x0 時 恒有x2 cex 由 2 知 當x 0時 x2 ex 從而h x 0 h x 在 0 上單調遞減 因此 對任意給定的正數c 總存在x0 當x x0 時 恒有x2 cex 點評已知切線求參數問題 主要利用導數幾何意義 通過切點坐標 切線斜率之間的關系來構造方程組求解 變式訓練2 2015 課標全國 已知曲線y x lnx在點 1 1 處的切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 則a 得曲線在點 1 1 處的切線的斜率為k y x 1 2 所以切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 此切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 消去y得ax2 ax 2 0 得a 0且 a2 8a 0 解得a 8 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析y ex 曲線y ex在點 0 1 處的切線的斜率k1 e0 1 因為兩切線垂直 所以k1k2 1 所以m 1 n 1 則點P的坐標為 1 1 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 曲線y e 2x 1在點 0 2 處的切線與直線y 0和y x圍成的三角形的面積為 解析因為y 2e 2x 曲線在點 0 2 處的切線斜率k 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 切線方程為y 2x 2 該直線與直線y 0和y x圍成的三角形如圖 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由點斜式得切線方程為y 1 2 x 1 即y 2x 1 A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 B 1 C 2 D 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析因為函數f x ax2 bx c 函數f x 圖象上不存在斜率為0的切線 也就是f x 0無解 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 已知函數f x x3 3x 若過點A 0 16 且與曲線y f x 相切的切線方程為y ax 16 則實數a的值是 A 3B 3C 6D 9解析先設切點為M x0 y0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 聯立 可解得x0 2 y0 2 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 設a R 函數f x x3 ax2 a 3 x的導函數是f x 若f x 是偶函數 則曲線y f x 在原點處的切線方程為 A y 3xB y 2xC y 3xD y 2x解析 f x 3x2 2ax a 3 又f x 是偶函數 a 0 即f x 3x2 3 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 k f 0 3 曲線y f x 在原點處的切線方程為y 3x 故選C 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 e e 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2015 陜西 函數y xex在其極值點處的切線方程為 解析設y f x xex 令y ex xex ex 1 x 0 得x 1 當x 1時 y 0 當x 1時 y 0 故x 1為函數f x 的極值點 切線斜率為0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 已知曲線C f x x3 ax a 若過曲線C外一點A 1 0 引曲線C的兩條切線 它們的傾斜角互補 則a的值為 解析設切點坐標為 t t3 at a 由題意知 f x 3x2 a 切線的斜率為k y x t 3t2 a 所以切線方程為y t3 at a 3t2 a x t 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 將點 1 0 代入 式得 t3 at a 3t2 a 1 t 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由題意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 證明 f x 1 設函數g x xlnx 則g x 1 lnx 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 則h x e x 1 x 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 天津 已知函數f x 4x x4 x R 1 求f x 的單調區(qū)間 解由f x 4x x4 可得f x 4 4x3 當f x 0 即x 1時 函數f x 單調遞增 當f x 0 即x 1時 函數f x 單調遞減 所以 f x 的單調遞增區(qū)間為 1 單調遞減區(qū)間為 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 設曲線y f x 與x軸正半軸的交點為P 曲線在點P處的切線方程為y g x 求證 對于任意的實數x 都有f x g x 證明設點P的坐標為 x0 0 則x0 f x0 12 曲線y f x 在點P處的切線方程為y f x0 x x0 即g x f x0 x x0 令函數F x f x g x 即F x f x f x0 x x0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 則F x f x f x0 由于f x 4x3 4在 上單調遞減 故F x 在 上單調遞減 又因為F x0 0 所以當x x0 時 F x 0 當x x0 時 F x 0 所以F x 在 x0 上單調遞增 在 x0 上單調遞減 所以對于任意的實數x F x F x0 0 即對于任意的實數x 都有f x g x 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 若方程f x a a為實數 有兩個實數根x1 x2 且x1 x2 求證 x2 x1 因為g x 在 上單調遞減 又由 2 知g x2 f x2 a g x2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因此x2 x2 類似地 設曲線y f x 在原點處的切線方程為y h x 可得h x 4x 對于任意的x 有f x h x x4 0 即f x h x 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因為h x 4x在 上單調遞增 且h x1 a f x1 h x1 因此x1 x1