專題10數(shù)學(xué)思想方法 第46練分類討論思想 思想方法解讀 分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解 或分割 成若干個基礎(chǔ)性問題 通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略 1 中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素 1 由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論 如絕對值的定義 不等式的定義 二次函數(shù)的定義 直線的傾斜角等 2 由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論 如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零 偶次方根為非負(fù)數(shù) 對數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求 指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求 不等式中兩邊同乘以一個正數(shù) 負(fù)數(shù) 三角函數(shù)的定義域 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和公式等 3 由性質(zhì) 定理 公式的限制而引起的分類討論 如函數(shù)的單調(diào)性 基本不等式等 4 由圖形的不確定性而引起的分類討論 如二次函數(shù)圖象 指數(shù)函數(shù)圖象 對數(shù)函數(shù)圖象等 5 由參數(shù)的變化而引起的分類討論 如某些含有參數(shù)的問題 由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同 或者由于對不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等 2 進(jìn)行分類討論要遵循的原則是 分類的對象是確定的 標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的 不遺漏 不重復(fù) 科學(xué)地劃分 分清主次 不越級討論 其中最重要的一條是 不重不漏 3 解答分類討論問題時的基本方法和步驟是 首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍 其次確定分類標(biāo)準(zhǔn) 正確進(jìn)行合理分類 即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一 不重不漏 分類互斥 沒有重復(fù) 再對所分類逐步進(jìn)行討論 分級進(jìn)行 獲取階段性結(jié)果 最后進(jìn)行歸納小結(jié) 綜合得出結(jié)論 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一由概念 公式 法則 計算性質(zhì)引起的分類討論 題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用 題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論 ?？碱}型精析 題型一由概念 公式 法則 計算性質(zhì)引起的分類討論 例1設(shè)集合A x R x2 4x 0 B x R x2 2 a 1 x a2 1 0 a R 若B A 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解 A 0 4 B A 于是可分為以下幾種情況 1 當(dāng)A B時 B 0 4 2 當(dāng)BA時 又可分為兩種情況 當(dāng)B 時 即B 0 或B 4 當(dāng)x 0時 有a 1 當(dāng)x 4時 有a 7或a 1 又由 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得a 1 此時B 0 滿足條件 當(dāng)B 時 4 a 1 2 4 a2 1 0 解得a 1 綜合 1 2 知 所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a 1或a 1 點(diǎn)評對概念 公式 法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵 在本題中 B A 包括B 和B 兩種情況 解答時就應(yīng)分兩種情況討論 在關(guān)于指數(shù) 對數(shù)的運(yùn)算中 底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時首先要考慮的因素 若0 a 1 有a 1 4 a2 m 題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用 例2已知函數(shù)f x x2 2ax 1 a在x 0 1 上有最大值2 求a的值 解函數(shù)f x x2 2ax 1 a x a 2 a2 a 1 對稱軸方程為x a 1 當(dāng)a 0時 f x max f 0 1 a 1 a 2 a 1 2 當(dāng)0 a 1時 f x max f a a2 a 1 a2 a 1 2 a2 a 1 0 3 當(dāng)a 1時 f x max f 1 a a 2 綜上可知 a 1或a 2 點(diǎn)評本題中函數(shù)的定義域是確定的 二次函數(shù)的對稱軸是不確定的 二次函數(shù)的最值問題與對稱軸息息相關(guān) 因此需要對對稱軸進(jìn)行討論 分對稱軸在區(qū)間內(nèi)和對稱軸在區(qū)間外 從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性 即可表示函數(shù)的最大值 從而求出a的值 變式訓(xùn)練2 2015 江蘇 已知函數(shù)f x x3 ax2 b a b R 1 試討論f x 的單調(diào)性 解f x 3x2 2ax 當(dāng)a 0時 因?yàn)閒 x 3x2 0 所以函數(shù)f x 在 上單調(diào)遞增 2 若b c a 實(shí)數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù) 當(dāng)函數(shù)f x 有三個不同的零點(diǎn)時 a的取值范圍恰好是 3 求c的值 解由 1 知 函數(shù)f x 的兩個極值為f 0 b 因?yàn)楹瘮?shù)f x 有三個零點(diǎn)時 此時 f x x3 ax2 1 a x 1 x2 a 1 x 1 a 因函數(shù)有三個零點(diǎn) 則x2 a 1 x 1 a 0有兩個異于 1的不等實(shí)根 所以 a 1 2 4 1 a a2 2a 3 0 且 1 2 a 1 1 a 0 綜上c 1 題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論 A 6 15 B 7 15 C 6 8 D 7 8 取點(diǎn)A 2 0 B 4 s 2s 4 C 0 s C 0 4 1 當(dāng)3 s 4時 可行域是四邊形OABC 如圖 1 所示 此時 7 z 8 2 當(dāng)4 s 5時 此時可行域是 OAC 如圖 2 所示 zmax 8 綜上 z 3x 2y最大值的變化范圍是 7 8 答案D 點(diǎn)評幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論 1 二次函數(shù)對稱軸的變化 2 函數(shù)問題中區(qū)間的變化 3 函數(shù)圖象形狀的變化 4 直線由斜率引起的位置變化 5 圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化 6 立體幾何中點(diǎn) 線 面的位置變化等 解若 PF2F1 90 若 F1PF2 90 高考題型精練 1 對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f x 若滿足 x 1 f x 0 則必有 A f 0 f 2 2f 1 解析依題意 若任意函數(shù)f x 為常函數(shù)時 則 x 1 f x 0在R上恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若任意函數(shù)f x 不是常函數(shù)時 當(dāng)x 1時 f x 0 函數(shù)f x 在 1 上是增函數(shù) 當(dāng)xf 1 f 2 f 1 綜上 則有f 0 f 2 2f 1 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn pn 1 p是常數(shù) 則數(shù)列 an 是 A 等差數(shù)列B 等比數(shù)列C 等差數(shù)列或等比數(shù)列D 以上都不對 高考題型精練 解析 Sn pn 1 a1 p 1 an Sn Sn 1 p 1 pn 1 n 2 當(dāng)p 1且p 0時 an 是等比數(shù)列 當(dāng)p 1時 an 是等差數(shù)列 當(dāng)p 0時 a1 1 an 0 n 2 此時 an 既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 答案D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 只有直線y kx 1與直線x 0垂直 如圖 或直線y kx 1與直線y 2x垂直 如圖 時 平面區(qū)域才是直角三角形 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 4 2014 四川 設(shè)m R 過定點(diǎn)A的動直線x my 0和過定點(diǎn)B的動直線mx y m 3 0交于點(diǎn)P x y 則 PA PB 的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析由動直線x my 0知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為 0 0 由動直線mx y m 3 0知定點(diǎn)B的坐標(biāo)為 1 3 且兩直線互相垂直 故點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動 故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B不重合時 在Rt PAB中 有 PA 2 PB 2 AB 2 10 因?yàn)?PA 2 PB 2 2 PA PB 所以2 PA 2 PB 2 PA PB 2 當(dāng)且僅當(dāng) PA PB 時取等號 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B 高考題型精練 5 拋物線y2 4px p 0 的焦點(diǎn)為F P為其上的一點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) 若 OPF為等腰三角形 則這樣的點(diǎn)P的個數(shù)為 A 2B 3C 4D 6解析當(dāng) PO PF 時 點(diǎn)P在線段OF的中垂線上 此時 點(diǎn)P的位置有兩個 當(dāng) OP OF 時 點(diǎn)P的位置也有兩個 對 FO FP 的情形 點(diǎn)P不存在 事實(shí)上 F p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又 y2 4px x2 2px 0 解得x 0或x 2p 當(dāng)x 0時 不構(gòu)成三角形 當(dāng)x 2p p 0 時 與點(diǎn)P在拋物線上矛盾 符合要求的點(diǎn)P一共有4個 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 7 已知函數(shù)f x ax3 3x 1對于x 1 1 總有f x 0成立 則a 解析若x 0 則不論a取何值 f x 0顯然成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 當(dāng)x 0即x 1 0 時 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 g x 在區(qū)間 1 0 上單調(diào)遞增 因此g x min g 1 4 從而a 4 綜上得a 4 答案4 高考題型精練 8 2014 浙江 若某程序框圖如圖所示 當(dāng)輸入50時 則該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析輸入n 50 由于i 1 S 0 所以S 2 0 1 1 i 2 此時不滿足S 50 當(dāng)i 2時 S 2 1 2 4 i 3 此時不滿足S 50 高考題型精練 當(dāng)i 3時 S 2 4 3 11 i 4 此時不滿足S 50 當(dāng)i 4時 S 2 11 4 26 i 5 此時不滿足S 50 當(dāng)i 5時 S 2 26 5 57 i 6 此時滿足S 50 因此輸出i 6 答案6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 9 已知拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為F A是拋物線上橫坐標(biāo)為4 且位于x軸上方的點(diǎn) A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5 過A作AB垂直于y軸 垂足為B OB的中點(diǎn)為M 1 求拋物線的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以拋物線的方程為y2 4x 高考題型精練 2 以M為圓心 MB為半徑作圓M 當(dāng)K m 0 是x軸上一動點(diǎn)時 討論直線AK與圓M的位置關(guān)系 解由題意知 圓M的圓心為點(diǎn) 0 2 半徑為2 當(dāng)m 4時 直線AK的方程為x 4 此時 直線AK與圓M相離 當(dāng)m 4時 由 1 知A 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即4x 4 m y 4m 0 圓心M 0 2 到直線AK的距離 令d 2 解得m 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以 當(dāng)m 1時 直線AK與圓M相離 當(dāng)m 1時 直線AK與圓M相切 當(dāng)m 1時 直線AK與圓M相交 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若a 0 則f x 0 f x 有單調(diào)遞增區(qū)間 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 設(shè)g a 為f x 在區(qū)間 0 2 上的最小值 寫出g a 的表達(dá)式 求a的取值范圍 使得 6 g a 2 解 由 1 知 若a 0 f x 在 0 2 上單調(diào)遞增 所以g a f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若a 6 f x 在 0 2 上單調(diào)遞減 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令 6 g a 2 若a 0 無解 若0 a 6 解得3 a 6