專題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第15練存在與恒成立問題 題型分析 高考展望 存在 與 恒成立 兩個(gè)表示范圍的詞語在題目中出現(xiàn)是近年高考的一大熱點(diǎn) 其本質(zhì)是 特稱 與 全稱 量詞的一個(gè)延伸 弄清其含義 適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化來加以解決 此類題目主要出現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的解答題中 難度高 需要有較強(qiáng)的分析能力和運(yùn)算能力 訓(xùn)練時(shí)應(yīng)注意破題方法的研究 常考題型精析 高考題型精練 題型一恒成立問題 題型二存在性問題 ?？碱}型精析 題型一恒成立問題 例1 2014 浙江 已知函數(shù)f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值記為g a 1 求g a 解因?yàn)閍 0 1 x 1 所以 當(dāng)0 a 1時(shí) 若x 1 a 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 a 上是減函數(shù) 若x a 1 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函數(shù) 所以g a f a a3 當(dāng)a 1時(shí) 有x a 則f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 1 上是減函數(shù) 所以 g a f 1 2 3a 2 證明 當(dāng)x 1 1 時(shí) 恒有f x g a 4 證明令h x f x g a 當(dāng)0 a 1時(shí) g a a3 若x a 1 則h x x3 3x 3a a3 h x 3x2 3 所以h x 在 a 1 上是增函數(shù) 所以 h x 在 a 1 上的最大值是h 1 4 3a a3 且00 知t a 在 0 1 上是增函數(shù) 所以 t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 當(dāng)a 1時(shí) g a 2 3a 故h x x3 3x 2 h x 3x2 3 此時(shí)h x 在 1 1 上是減函數(shù) 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 綜上 當(dāng)x 1 1 時(shí) 恒有f x g a 4 點(diǎn)評恒成立問題一般與不等式有關(guān) 解決此類問題需要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值 從而說明函數(shù)值恒大于或恒小于某一確定的值 變式訓(xùn)練1 2015 山東 設(shè)函數(shù)f x ln x 1 a x2 x 其中a R 1 討論函數(shù)f x 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù) 并說明理由 解由題意知 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?1 令g x 2ax2 ax a 1 x 1 當(dāng)a 0時(shí) g x 1 此時(shí)f x 0 函數(shù)f x 在 1 上單調(diào)遞增 無極值點(diǎn) 當(dāng)a 0時(shí) a2 8a 1 a a 9a 8 f x 0 函數(shù)f x 在 1 上單調(diào)遞增 無極值點(diǎn) 設(shè)方程2ax2 ax a 1 0的兩根為x1 x2 x1 x2 所以當(dāng)x 1 x1 時(shí) g x 0 f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x x1 x2 時(shí) g x 0 f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞減 當(dāng)x x2 時(shí) g x 0 f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) 當(dāng)a 0時(shí) 0 由g 1 1 0 可得x1 1 當(dāng)x 1 x2 時(shí) g x 0 f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 當(dāng)x x2 時(shí) g x 0 f x 0 函數(shù)f x 單調(diào)遞減 所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn) 綜上所述 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)f x 有一個(gè)極值點(diǎn) 當(dāng)a 0時(shí) 設(shè)h x x ln x 1 所以h x 在 0 上單調(diào)遞增 因此當(dāng)x 0 時(shí) h x h 0 0 即ln x 1 x 可得f x x a x2 x ax2 1 a x 此時(shí)f x 0 不合題意 綜上所述 a的取值范圍是 0 1 題型二存在性問題 由 1 得 當(dāng)t 0 x0 時(shí) u t 0 在 0 x0 上u t 是增函數(shù) 又u 0 0 從而當(dāng)t 0 x0 時(shí) u t 0 所以u t 在 0 x0 上無零點(diǎn) 使h x1 h t1 u t1 0 故g x 1 sinx h x 與h x 有相同的零點(diǎn) 因?yàn)閤1 t1 t1 x0 所以x0 x1 點(diǎn)評 存在 是特稱量詞 即 有的 意思 證明這類問題的思路是想法找到一個(gè) x0 使問題成立即可 必要時(shí)需要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 若證 存在且唯一 則需說明除 x0 外其余不能使命題成立 或利用函數(shù)單調(diào)性證明此類問題 2 已知函數(shù)f x 在 1 1 上存在零點(diǎn) 0 b 2a 1 求b的取值范圍 解設(shè)s t為方程f x 0的解 且 1 t 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x 在 0 1 上遞增 x max 1 6 a 6 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)x 2 1 時(shí) x 0 當(dāng)x 1時(shí) x 有極小值 即為最小值 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 2 綜上知 6 a 2 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 若存在正數(shù)x使2x x a 1成立 則a的取值范圍是 A B 2 C 0 D 1 f x 1 2 xln2 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 在 0 上單調(diào)遞增 f x f 0 0 1 1 a的取值范圍為 1 故選D 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 若不等式2xlnx x2 ax 3對x 0 恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 0 B 4 C 0 D 4 解析2xlnx x2 ax 3 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)x 0 1 時(shí) h x 0 函數(shù)h x 單調(diào)遞增 所以h x min h 1 4 所以a h x min 4 故a的取值范圍是 4 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 若x 0 則下列不等式恒成立的是 則f x sinx x 0 x 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 已知函數(shù)f x 2ax3 3ax2 1 g x 若任意給定的x0 0 2 總存在兩個(gè)不同的xi i 1 2 0 2 使得f xi g x0 成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同時(shí)f x 在0 x 1時(shí) 函數(shù)值從1增大到1 a 在1 x 2時(shí) 函數(shù)值從1 a減少到1 4a 所以 任意給定的x0 0 2 總存在兩個(gè)不同的xi i 1 2 0 2 使得f xi g x0 成立 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得a 1 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2014 江蘇 已知函數(shù)f x x2 mx 1 若對于任意x m m 1 都有f x 0成立 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 解析作出二次函數(shù)f x 的圖象 對于任意x m m 1 都有f x 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 設(shè)函數(shù)f x ax3 3x 1 x R 若對于任意x 1 1 都有f x 0成立 則實(shí)數(shù)a的值為 解析若x 0 則不論a取何值 f x 0顯然成立 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 g x 在區(qū)間 1 0 上單調(diào)遞增 所以g x min g 1 4 從而a 4 綜上可知a 4 答案4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 已知函數(shù)f x x g x x2 2ax 4 若對于任意x1 0 1 存在x2 1 2 使f x1 g x2 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 因此函數(shù)f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 所以x 0 1 時(shí) f x min f 0 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根據(jù)題意可知存在x 1 2 使得g x x2 2ax 4 1 即x2 2ax 5 0 則要使a h x 在x 1 2 能成立 只需使a h x min 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2015 湖南 已知a 0 函數(shù)f x aexcosx x 0 記xn為f x 的從小到大的第n n N 個(gè)極值點(diǎn) 1 證明 數(shù)列 f xn 是等比數(shù)列 證明f x aexcosx aexsinx 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若對一切n N xn f xn 恒成立 求a的取值范圍 解對一切n N xn f xn 恒成立 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令g t 0得t 1 當(dāng)0 t 1時(shí) g t 0 所以g t 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞減 當(dāng)t 1時(shí) g t 0 所以g t 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 因?yàn)閤1 0 1 且當(dāng)n 2時(shí) xn 1 xn xn 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 g xn min min g x1 g x2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)x 0 e f x 0 f x 在 e 上單調(diào)遞增 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 的極小值為2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 則 x x2 1 x 1 x 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)x 0 1 時(shí) x 0 x 在 0 1 上單調(diào)遞增 當(dāng)x 1 時(shí) x 0 x 在 1 上單調(diào)遞減 x 1是 x 的唯一極值點(diǎn) 且是極大值點(diǎn) x 1是 x 的最大值點(diǎn) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 0 0 結(jié)合y x 的圖象 如圖 可知 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)m 0時(shí) 函數(shù)g x 有且只有一個(gè)零點(diǎn) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 等價(jià)于f b b f a a恒成立 等價(jià)于h x 在 0 上單調(diào)遞減 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12