專題6立體幾何與空間向量 第25練空間幾何體的三視圖及表面積與體積 題型分析 高考展望 三視圖作為新課標新增加的內(nèi)容 是高考的熱點和重點 其考查形式多種多樣 選擇題 填空題和綜合解答題都有出現(xiàn) 而這些題目以選擇題居多 立體幾何中的計算問題考查的知識 涉及到三視圖 空間幾何體的表面積和體積以及綜合解答和證明 常考題型精析 高考題型精練 題型一三視圖識圖 題型二空間幾何體的表面積和體積 ?？碱}型精析 題型一三視圖識圖 例1 1 2014 湖北 在如圖所示的空間直角坐標系O xyz中 一個四面體的頂點坐標分別是 0 0 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 給出編號為 的四個圖 則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 A 和 B 和 C 和 D 和 解析由三視圖可知 該幾何體的正視圖是一個直角三角形 三個頂點的坐標分別是 0 0 2 0 2 0 0 2 2 且內(nèi)有一虛線 一頂點與另一直角邊中點的連線 故正視圖是 俯視圖即在底面的射影是一個斜三角形 三個頂點的坐標分別是 0 0 0 2 2 0 1 2 0 故俯視圖是 答案D 2 將正方體 如圖 1 所示 截去兩個三棱錐 得到如圖 2 所示的幾何體 則該幾何體的側(cè) 左 視圖為 解析還原正方體后 將D1 D A三點分別向正方體右側(cè)面作垂線 D1A的射影為C1B 且為實線 B1C被遮擋應為虛線 答案B 點評畫法規(guī)則 1 由幾何體的輪廓線定形狀 看到的畫成實線 看不到的畫成虛線 2 正 主 俯一樣長 俯側(cè) 左 一樣寬 正 主 側(cè) 左 一樣高 變式訓練1 2014 江西 一幾何體的直觀圖如圖 下列給出的四個俯視圖中正確的是 解析該幾何體是組合體 上面的幾何體是一個五面體 下面是一個長方體 且五面體的一個面即為長方體的一個面 五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等 因此選B 答案B 題型二空間幾何體的表面積和體積 例2 1 2015 安徽 一個四面體的三視圖如圖所示 則該四面體的表面積是 解析由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖 如圖 故選B 答案B 2 2015 天津 一個幾何體的三視圖如圖所示 單位 m 則該幾何體的體積為 m3 解析由三視圖可知 該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成 底面半徑為1m 圓錐的高為1m 圓柱的高為2m 點評利用三視圖求幾何體的表面積 體積 需先由三視圖還原幾何體 三個圖形結(jié)合得出幾何體的大體形狀 由實虛線得出局部位置的形狀 再由幾何體的面積體積公式求解 變式訓練2 2014 陜西 四面體ABCD及其三視圖如圖所示 平行于棱AD BC的平面分別交四面體的棱AB BD DC CA于點E F G H 1 求四面體ABCD的體積 解由該四面體的三視圖可知 BD DC BD AD AD DC BD DC 2 AD 1 AD 平面BDC 2 證明 四邊形EFGH是矩形 證明 BC 平面EFGH 平面EFGH 平面BDC FG 平面EFGH 平面ABC EH BC FG BC EH FG EH 同理EF AD HG AD EF HG 四邊形EFGH是平行四邊形 又 AD 平面BDC AD BC EF FG 四邊形EFGH是矩形 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2015 課標全國 圓柱被一個平面截去一部分后與半球 半徑為r 組成一個幾何體 該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示 若該幾何體的表面積為16 20 則r等于 A 1B 2C 4D 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由正 主 視圖與俯視圖想象出其直觀圖 然后進行運算求解 如圖 該幾何體是一個半球與一個半圓柱的組合體 球的半徑為r 圓柱的底面半徑為r 高為2r 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又S 16 20 5 4 r2 16 20 r2 4 r 2 故選B 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2015 重慶 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 解析這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2014 浙江 某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則此幾何體的表面積是 A 90cm2B 129cm2C 132cm2D 138cm2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析該幾何體如圖所示 長方體的長 寬 高分別為6cm 4cm 3cm 直三棱柱的底面是直角三角形 邊長分別為3cm 4cm 5cm 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 如圖是某簡單組合體的三視圖 則該組合體的體積為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由俯視圖可知該幾何體的底面由三角形和半圓兩部分構(gòu)成 結(jié)合正 主 視圖和側(cè) 左 視圖可知該幾何體是由半個圓錐與一個三棱錐組合而成的 并且圓錐的軸截面與三棱錐的一個側(cè)面重合 兩個錐體的高相等 由三視圖中的數(shù)據(jù) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可得該圓錐的底面半徑r 6 三棱錐的底面是一個底邊長為12 高為6的等腰三角形 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2014 重慶 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 A 54B 60C 66D 72 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形 由正 主 視圖和側(cè) 左 視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱 側(cè)棱與底面垂直的棱柱 截取得到的 在長方體中分析還原 如圖 1 所示 故該幾何體的直觀圖如圖 2 所示 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 計算可得A1P 5 因為A1C1 平面A1ABP A1P 平面A1ABP 矩形ACC1A1的面積為5 3 15 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1的內(nèi)部 且互相外切 若球O1與過點A的正方體的三個面相切 球O2與過點C1的正方體的三個面相切 則球O1和球O2的表面積之和的最小值為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析設(shè)球O1 O2的半徑分別為r1 r2 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖 過A作AD垂直SC于D 連接BD 由于SC是球的直徑 所以 SAC SBC 90 又 ASC BSC 30 又SC為公共邊 所以 SAC SBC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由于AD SC 所以BD SC 由此得SC 平面ABD 由于在Rt SAC中 ASC 30 SC 4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析過點C作CE垂直AD所在直線于點E 梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑 線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑 ED為高的圓錐 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2014 北京 某三棱錐的三視圖如圖所示 則該三棱錐最長棱的棱長為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析根據(jù)三視圖還原幾何體 得如圖所示的三棱錐P ABC 由三視圖的形狀特征及數(shù)據(jù) 可推知PA 平面ABC 且PA 2 底面為等腰三角形 AB BC 設(shè)D為AC的中點 AC 2 則AD DC 1 且BD 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 一個幾何體的三視圖如圖所示 其中正 主 視圖是等邊三角形 俯視圖是半圓 現(xiàn)有一只螞蟻從點A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點 則螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖所示 側(cè)面展開圖為一個四分之一圓與一個等邊三角形 從點A出發(fā)沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 如圖所示是一幾何體的直觀圖及正 主 視圖 側(cè) 左 視圖 俯視圖 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 若F為PD的中點 證明 AF 平面PCD 證明由幾何體的三視圖 可知底面ABCD是邊長為4的正方形 PA 平面ABCD PA EB PA 2EB 4 因為PA AD F為PD的中點 所以PD AF 又CD DA CD PA PA DA A 所以CD 平面ADP 所以CD AF 又CD DP D 所以AF 平面PCD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 證明 BD 平面PEC 證明取PC的中點M 連接AC EM AC與BD的交點為N 連接MN 所以MN EB MN EB 故四邊形BEMN為平行四邊形 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以EM BN 又EM 平面PEC BN 平面PEC 所以BD 平面PEC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 如圖1 在直角梯形ABCD中 ADC 90 CD AB AB 4 AD CD 2 將 ADC沿AC折起 使平面ADC 平面ABC 得到幾何體D ABC 如圖2所示 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 求證 BC 平面ACD 從而AC2 BC2 AB2 故AC BC 又平面ADC 平面ABC 平面ADC 平面ABC AC BC 平面ABC BC 平面ACD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 求幾何體D ABC的體積 解由 1 可知BC為三棱錐B ACD的高