專題5數(shù)列 第24練數(shù)列求和問題 題型分析 高考展望 數(shù)列求和是數(shù)列部分高考考查的兩大重點之一 主要考查等差 等比數(shù)列的前n項和公式以及其他求和方法 尤其是錯位相減法 裂項相消法是高考的熱點內(nèi)容 常與通項公式相結(jié)合考查 有時也與函數(shù) 方程 不等式等知識交匯 綜合命題 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一分組轉(zhuǎn)化法求和 題型二錯位相減法求和 題型三裂項相消法求和 常考題型精析 題型一分組轉(zhuǎn)化法求和 例1等比數(shù)列 an 中 a1 a2 a3分別是下表第一 二 三行中的某一個數(shù) 且a1 a2 a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解當a1 3時 不合題意 當a1 2時 當且僅當a2 6 a3 18時 符合題意 當a1 10時 不合題意 因此a1 2 a2 6 a3 18 所以公比q 3 故an 2 3n 1 n N 2 若數(shù)列 bn 滿足 bn an 1 nlnan 求數(shù)列 bn 的前n項和Sn 解因為bn an 1 nlnan 2 3n 1 1 nln 2 3n 1 2 3n 1 1 n ln2 n 1 ln3 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 所以Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以當n為偶數(shù)時 當n為奇數(shù)時 點評分組求和常見的方法 1 根據(jù)等差 等比數(shù)列分組 即分組后 每一組可能是等差數(shù)列或等比數(shù)列 2 根據(jù)正號 負號分組 3 根據(jù)數(shù)列的周期性分組 4 根據(jù)奇數(shù)項 偶數(shù)項分組 變式訓練1已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn n N a3 5 S10 100 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解設等差數(shù)列 an 的公差為d 所以an 2n 1 2 設bn 2an 2n 求數(shù)列 bn 的前n項和Tn 所以Tn b1 b2 bn 題型二錯位相減法求和 例2 2015 山東 設數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知2Sn 3n 3 1 求 an 的通項公式 解因為2Sn 3n 3 所以2a1 3 3 故a1 3 當n 1時 2Sn 1 3n 1 3 此時2an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即an 3n 1 2 若數(shù)列 bn 滿足anbn log3an 求 bn 的前n項和Tn 解因為anbn log3an 當n 1時 bn 31 nlog33n 1 n 1 31 n 當n 1時 Tn b1 b2 b3 bn 所以3Tn 1 1 30 2 3 1 n 1 32 n 點評錯位相減法的關注點 1 適用題型 等差數(shù)列 an 乘以等比數(shù)列 bn 對應項 an bn 型數(shù)列求和 2 步驟 求和時先乘以數(shù)列 bn 的公比 把兩個和的形式錯位相減 整理結(jié)果形式 變式訓練2 2014 四川 設等差數(shù)列 an 的公差為d 點 an bn 在函數(shù)f x 2x的圖象上 n N 1 若a1 2 點 a8 4b7 在函數(shù)f x 的圖象上 求數(shù)列 an 的前n項和Sn 解由已知 得b7 b8 4b7 有 4 2a7 解得d a8 a7 2 2 若a1 1 函數(shù)f x 的圖象在點 a2 b2 處的切線在x軸上的截距為2 求數(shù)列 的前n項和Tn 解函數(shù)f x 2x在 a2 b2 處的切線方程為y 2 2ln2 x a2 所以d a2 a1 1 從而an n bn 2n a2 a2 題型三裂項相消法求和 例3在公差不為0的等差數(shù)列 an 中 a1 a4 a8成等比數(shù)列 1 已知數(shù)列 an 的前10項和為45 求數(shù)列 an 的通項公式 解設數(shù)列 an 的公差為d 由a1 a4 a8成等比數(shù)列可得 a1 9d 則數(shù)列 bn 的前n項和為 故數(shù)列 an 的公差d 1或 1 2 利用裂項相消法求和時 應注意抵消后并不一定只剩第一項和最后一項 也可能前面剩兩項 后面也剩兩項 變式訓練3 2014 大綱全國 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a1 10 a2為整數(shù) 且Sn S4 1 求 an 的通項公式 解由a1 10 a2為整數(shù) 知等差數(shù)列 an 的公差d為整數(shù) 又Sn S4 故a4 0 a5 0 于是10 3d 0 10 4d 0 數(shù)列 an 的通項公式為an 13 3n 于是Tn b1 b2 bn 高考題型精練 1 2015 浙江 已知 an 是等差數(shù)列 公差d不為零 前n項和是Sn 若a3 a4 a8成等比數(shù)列 則 A a1d 0 dS4 0B a1d 0 dS4 0C a1d 0 dS4 0D a1d 0 dS4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 a3 a4 a8成等比數(shù)列 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2014 課標全國 等差數(shù)列 an 的公差為2 若a2 a4 a8成等比數(shù)列 則 an 的前n項和Sn等于 解析由a2 a4 a8成等比數(shù)列 得 即 a1 6 2 a1 2 a1 14 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a1 2 2n n2 n n n 1 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 若數(shù)列 an 的通項公式為an 則其前n項和Sn為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以Sn a1 a2 an 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故選D 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 設等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 則m等于 A 3B 4C 5D 6解析am 2 am 1 3 故d 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因為am am 1 5 故am am 1 2a1 2m 1 d m 1 2m 1 5 即m 5 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 在等比數(shù)列 an 中 a1 3 a4 81 若數(shù)列 bn 滿足bn log3an 則數(shù)列的前n項和Sn 解析設等比數(shù)列 an 的公比為q 所以an a1qn 1 3 3n 1 3n 故bn log3an n 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 數(shù)列 an 滿足an 1 1 nan 2n 1 則 an 的前60項和為 解析 an 1 1 nan 2n 1 a2 1 a1 a3 2 a1 a4 7 a1 a5 a1 a6 9 a1 a7 2 a1 a8 15 a1 a9 a1 a10 17 a1 a11 2 a1 a12 23 a1 a57 a1 a58 113 a1 a59 2 a1 a60 119 a1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a1 a2 a60 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a57 a58 a59 a60 10 26 42 234 答案1830 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 在數(shù)列 an 中 a1 1 當n 2時 其前n項和Sn滿足 1 求Sn的表達式 an Sn Sn 1 n 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 由題意得Sn 1 Sn 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2014 課標全國 已知 an 是遞增的等差數(shù)列 a2 a4是方程x2 5x 6 0的根 1 求 an 的通項公式 解方程x2 5x 6 0的兩根為2 3 由題意得a2 2 a4 3 設數(shù)列 an 的公差為d 則a4 a2 2d 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兩式相減得 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2015 天津 已知數(shù)列 an 滿足an 2 qan q為實數(shù) 且q 1 n N a1 1 a2 2 且a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差數(shù)列 1 求q的值和 an 的通項公式 解由已知 有 a3 a4 a2 a3 a4 a5 a3 a4 即a4 a2 a5 a3 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以a2 q 1 a3 q 1 又因為q 1 故a3 a2 2 由a3 a1q 得q 2 由遞推公式得 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 設 bn 的前n項和為Sn 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上述兩式相減得 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2015 安徽 設n N xn是曲線y x2n 2 1在點 1 2 處的切線與x軸交點的橫坐標 1 求數(shù)列 xn 的通項公式 解y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲線y x2n 2 1在點 1 2 處的切線斜率為2n 2 從而切線方程為y 2 2n 2 x 1 令y 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 證明由題設和 1 中的計算結(jié)果知 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12