專題7解析幾何 第31練雙曲線的漸近線和離心率問題 題型分析 高考展望 雙曲線作為三種圓錐曲線之一 也是高考熱點 其性質(zhì)是考查的重點 尤其是離心率與漸近線 考查形式除?？嫉慕獯痤}外 也會在選擇題 填空題中考查 一般為中等難度 熟練掌握兩種性質(zhì)的求法 用法是此類問題的解題之本 常考題型精析 高考題型精練 題型一雙曲線的漸近線問題 題型二雙曲線的離心率問題 題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題 ?？碱}型精析 題型一雙曲線的漸近線問題 例1 1 2015 重慶 設(shè)雙曲線 1 a 0 b 0 的右焦點是F 左 右頂點分別是A1 A2 過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B C兩點 若A1B A2C 則該雙曲線的漸近線的斜率為 左 右頂點分別為A1 a 0 A2 a 0 易求 答案C 求雙曲線C的方程 過C上一點P x0 y0 y0 0 的直線l y0y 1與直線AF相交于點M 與直線x 相交于點N 證明 當點P在C上移動時 恒為定值 并求此定值 因為直線AF的方程為x 2 c a2 b2 答案A 題型二雙曲線的離心率問題 例2 1 2015 湖北 將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b a b 同時增加m m 0 個單位長度 得到離心率為e2的雙曲線C2 則 A 對任意的a b e1 e2B 當a b時 e1 e2 當ab時 e1e2 雙曲線C2的實半軸長為a m 虛半軸長為b m 綜上 當a b時 e1e2 答案D 又A在以O(shè)F為直徑的圓上 答案C 1 求C1 C2的方程 所以b 1 a2 2 2 過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB M為AB的中點 當直線OM與C2交于P Q兩點時 求四邊形APBQ面積的最小值 解因AB不垂直于y軸 且過點F1 1 0 故可設(shè)直線AB的方程為x my 1 易知此方程的判別式大于0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則y1 y2是上述方程的兩個實根 設(shè)點A到直線PQ的距離為d 則點B到直線PQ的距離也為d 因為點A B在直線mx 2y 0的異側(cè) 所以 mx1 2y1 mx2 2y2 0 于是 mx1 2y1 mx2 2y2 mx1 2y1 mx2 2y2 而0 2 m2 2 故當m 0時 S取得最小值2 綜上所述 四邊形APBQ面積的最小值為2 題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問題 例3 2014 福建 已知雙曲線E 1 a 0 b 0 的兩條漸近線分別為l1 y 2x l2 y 2x 1 求雙曲線E的離心率 2 如圖 O為坐標原點 動直線l分別交直線l1 l2于A B兩點 A B分別在第一 四象限 且 OAB的面積恒為8 試探究 是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E 若存在 求出雙曲線E的方程 若不存在 請說明理由 設(shè)直線l與x軸相交于點C 當l x軸時 若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點 則 OC a AB 4a 又因為 OAB的面積為8 若存在滿足條件的雙曲線E 以下證明 當直線l不與x軸垂直時 記A x1 y1 B x2 y2 即m2 4 4 k2 4 k2 4 得 4 k2 x2 2kmx m2 16 0 因為4 k2 0 所以 4k2m2 4 4 k2 m2 16 16 4k2 m2 16 又因為m2 4 k2 4 所以 0 即l與雙曲線E有且只有一個公共點 設(shè)直線l的方程為x my t A x1 y1 B x2 y2 設(shè)直線l與x軸相交于點C 則C t 0 所以t2 4 1 4m2 4 1 4m2 得 4m2 1 y2 8mty 4 t2 a2 0 因為4m2 1 0 直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當 64m2t2 16 4m2 1 t2 a2 0 即4m2a2 t2 a2 0 即4m2a2 4 1 4m2 a2 0 即 1 4m2 a2 4 0 所以a2 4 因此 存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E 點評解決此類問題 一是利用離心率公式 漸近線方程 斜率關(guān)系等列方程組 二是數(shù)形結(jié)合 由圖形中的位置關(guān)系 確定相關(guān)參數(shù)的范圍 變式訓(xùn)練3 2014 浙江 設(shè)直線x 3y m 0 m 0 與雙曲線 1 a 0 b 0 的兩條漸近線分別交于點A B 若點P m 0 滿足 PA PB 則該雙曲線的離心率是 設(shè)直線l x 3y m 0 m 0 因為 PA PB 所以PC l 所以kPC 3 化簡得a2 4b2 在雙曲線中 c2 a2 b2 5b2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 焦距相等B 實半軸長相等C 虛半軸長相等D 離心率相等 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析因為0 k 9 所以兩條曲線都表示雙曲線 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 3 已知雙曲線 1 a 0 b 0 的兩條漸近線均和圓C x2 y2 6x 5 0相切 且雙曲線的右焦點為圓C的圓心 則該雙曲線的方程為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圓C的標準方程為 x 3 2 y2 4 圓心為C 3 0 又漸近線方程與圓C相切 即直線bx ay 0與圓C相切 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a2 b2 9 由 得a2 5 b2 4 答案A 高考題型精練 4 以橢圓的右焦點為圓心 且與雙曲線 1的漸近線相切的圓的方程是 A x2 y2 10 x 9 0B x2 y2 10 x 9 0C x2 y2 10 x 9 0D x2 y2 10 x 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以所求的圓是圓心坐標為 5 0 半徑為4的圓 即圓的方程為x2 y2 10 x 9 0 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 6 已知雙曲線C 1 a 0 b 0 的左 右焦點分別為F1 F2 過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線 垂足為H 若F2H的中點M在雙曲線C上 則雙曲線C的離心率為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 7 已知拋物線y2 8x的準線過雙曲線 a 0 b 0 的一個焦點 且雙曲線的離心率為2 則該雙曲線的方程為 解析由y2 8x 2p 8 p 4 其準線方程為x 2 即雙曲線的左焦點為 2 0 c 2 又e 2 a 1 b2 c2 a2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 8 已知雙曲線C的中心在原點 且左 右焦點分別為F1 F2 以F1F2為底邊作正三角形 若雙曲線C與該正三角形兩腰的交點恰為兩腰的中點 則雙曲線C的離心率為 解析設(shè)以F1F2為底邊的正三角形與雙曲線C的右支交于點M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由雙曲線的定義有 MF1 MF2 2a 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 9 已知F1 F2分別是雙曲線 1 a 0 b 0 的左 右焦點 過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M 若點M在以線段F1F2為直徑的圓外 則雙曲線離心率的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 解析設(shè)雙曲線的右焦點為F1 連接PF1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 PF1 FP PF 2 PF1 2 FF1 2 PF1 a PF 2a PF1 3a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 求此雙曲線的方程 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 設(shè)P為雙曲線上一點 A B兩點在雙曲線的漸近線上 且分別位于第一 二象限 若 求 AOB的面積 解由 1 知雙曲線的漸近線方程為y 2x 設(shè)A m 2m B n 2n 其中m 0 n 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 已知雙曲線 1 a 0 b 0 的右焦點為F c 0 1 若雙曲線的一條漸近線方程為y x且c 2 求雙曲線的方程 c2 a2 b2 2a2 4 a2 b2 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依題意 圓的方程為x2 y2 c2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12