專題7解析幾何 第32練與拋物線有關(guān)的熱點問題 題型分析 高考展望 拋物線是三種圓錐曲線之一 應(yīng)用廣泛 是高考的重點考查對象 拋物線方程 幾何性質(zhì) 直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點 考查形式有選擇題 填空題也有解答題 小題難度一般為低中檔層次 解答題難度為中檔偏上 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一拋物線的定義及其應(yīng)用 題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 題型三直線和拋物線的位置關(guān)系 常考題型精析 題型一拋物線的定義及其應(yīng)用 例1設(shè)P是拋物線y2 4x上的一動點 1 求點P到A 1 1 的距離與點P到直線x 1的距離之和的最小值 解由于A 1 1 F 1 0 P是拋物線上的任意一點 2 若B 3 2 拋物線的焦點為F 求 PB PF 的最小值 解如圖所示 自點B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點Q 交拋物線于點P1 此時 P1Q P1F 那么 PB PF P1B P1Q BQ 4 即 PB PF 的最小值為4 點評與拋物線有關(guān)的最值問題 一般情況下都與拋物線的定義有關(guān) 由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性 因此此類問題也有一定的難度 看到準(zhǔn)線想焦點 看到焦點想準(zhǔn)線 這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑 A 題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) N點在拋物線上 點評 1 由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 可以首先確定拋物線的開口方向 焦點的位置及p的值 再進一步確定拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 2 求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法 其關(guān)鍵是判斷焦點位置 開口方向 在方程的類型已經(jīng)確定的前提下 由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p 只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 變式訓(xùn)練2 2015 福建 如圖 已知點F為拋物線E y2 2px p 0 的焦點 點A 2 m 在拋物線E上 且 AF 3 1 求拋物線E的方程 所以拋物線E的方程為y2 4x 2 已知點G 1 0 延長AF交拋物線E于點B 證明 以點F為圓心且與直線GA相切的圓 必與直線GB相切 解因為點A 2 m 在拋物線E y2 4x上 得2x2 5x 2 0 又G 1 0 所以kGA kGB 0 從而 AGF BGF 這表明點F到直線GA GB的距離相等 故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切 方法二 1 同方法一 2 設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r 因為點A 2 m 在拋物線E y2 4x上 得2x2 5x 2 0 又G 1 0 這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切 題型三直線和拋物線的位置關(guān)系 2 y軸上是否存在點P 使得當(dāng)k變動時 總有 OPM OPN 說明理由 解存在符合題意的點 證明如下 設(shè)P 0 b 為符合題意的點 M x1 y1 N x2 y2 直線PM PN的斜率分別為k1 k2 將y kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 當(dāng)b a時 有k1 k2 0 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補 故 OPM OPN 所以點P 0 a 符合題意 點評 1 直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓 雙曲線的位置關(guān)系類似 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系 2 有關(guān)直線與拋物線的弦長問題 要注意直線是否過拋物線的焦點 若過拋物線的焦點 可直接使用公式 AB x1 x2 p 若不過焦點 則必須用一般弦長公式 3 涉及拋物線的弦長 中點 距離等相關(guān)問題時 一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用 設(shè)而不求 整體代入 等解法 提醒 涉及弦的中點 斜率時一般用 點差法 求解 變式訓(xùn)練3已知拋物線C y mx2 m 0 焦點為F 直線2x y 2 0交拋物線C于A B兩點 P是線段AB的中點 過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q 1 求拋物線C的焦點坐標(biāo) 2 若拋物線C上有一點R xR 2 到焦點F的距離為3 求此時m的值 3 是否存在實數(shù)m 使 ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 說明理由 消去y得mx2 2x 2 0 P是線段AB的中點 若存在實數(shù)m 使 ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形 存在實數(shù)m 2 使 ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2014 遼寧 已知點A 2 3 在拋物線C y2 2px的準(zhǔn)線上 過點A的直線與C在第一象限相切于點B 記C的焦點為F 則直線BF的斜率為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 從而C y2 8x 焦點為F 2 0 設(shè)切線方程為y 3 k x 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2015 浙江 如圖 設(shè)拋物線y2 4x的焦點為F 不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A B C 其中點A B在拋物線上 點C在y軸上 則 BCF與 ACF的面積之比是 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由圖形可知 BCF與 ACF有公共的頂點F 由拋物線方程知焦點F 1 0 作準(zhǔn)線l 則l的方程為x 1 點A B在拋物線上 過A B分別作AK BH與準(zhǔn)線垂直 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 垂足分別為點K H 且與y軸分別交于點N M 由拋物線定義 得 BM BF 1 AN AF 1 在 CAN中 BM AN 答案A 高考題型精練 3 已知拋物線y2 2px p 0 的焦點為F P Q是拋物線上的兩個點 若 PQF是邊長為2的正三角形 則p的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又點P位于該拋物線上 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 4 2014 課標(biāo)全國 設(shè)F為拋物線C y2 3x的焦點 過F且傾斜角為30 的直線交C于A B兩點 O為坐標(biāo)原點 則 OAB的面積為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 已知拋物線y2 8x的準(zhǔn)線為l 點Q在圓C x2 y2 2x 8y 13 0上 記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d 則d PQ 的最小值等于 A 3B 2C 4D 5 解析如圖所示 由題意 知拋物線y2 8x的焦點為F 2 0 連接PF 則d PF 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圓C的方程配方 得 x 1 2 y 4 2 4 圓心為C 1 4 半徑r 2 d PQ PF PQ 顯然 PF PQ FQ 當(dāng)且僅當(dāng)F P Q三點共線時取等號 而 FQ 為圓C上的動點Q到定點F的距離 顯然當(dāng)F Q C三點共線時取得最小值 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 6 已知拋物線y2 2px p 0 的焦點弦AB的兩端點坐標(biāo)分別為A x1 y1 B x2 y2 則的值一定等于 解析 若焦點弦AB x軸 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a b O為AD的中點 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 點C F在拋物線y2 2px p 0 上 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 M為AB的中點 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 過點B作BP垂直準(zhǔn)線l于點P 則 ABP 60 BAP 30 答案2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 已知拋物線C的方程為y2 8x 設(shè)過點N 2 0 的直線l的斜率為k 且與拋物線C相交于點S T 若S T兩點只在第二象限內(nèi)運動 線段ST的垂直平分線交x軸于Q點 則Q點橫坐標(biāo)的取值范圍為 解析設(shè)S x1 y1 T x2 y2 由題意得直線ST的方程為y k x 2 顯然k 0 與y2 8x聯(lián)立 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因為直線l與拋物線C相交于S T兩點 所以 64 64k2 0 再由y1 0 y2 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故Q點橫坐標(biāo)的取值范圍為 6 答案 6 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2014 安徽 如圖 已知兩條拋物線E1 y2 2p1x p1 0 和E2 y2 2p2x p2 0 過原點O的兩條直線l1和l2 l1與E1 E2分別交于A1 A2兩點 l2與E1 E2分別交于B1 B2兩點 1 證明 A1B1 A2B2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 過O作直線l 異于l1 l2 與E1 E2分別交于C1 C2兩點 記 A1B1C1與 A2B2C2的面積分別為S1與S2 求的值 解由 1 知A1B1 A2B2 同理可得B1C1 B2C2 C1A1 C2A2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C1與C2都關(guān)于y軸對稱 且C1的方程為x2 4y 聯(lián)立 得a2 9 b2 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若 AC BD 求直線l的斜率 解如圖 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 即x1 x2 x3 x4 于是 x1 x2 2 4x1x2 x3 x4 2 4x3x4 設(shè)直線l的斜率為k 則l的方程為y kx 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而x1 x2是這個方程的兩根 所以x1 x2 4k x1x2 4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而x3 x4是這個方程的兩根 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12