專題8概率與統(tǒng)計(jì) 第36練二項(xiàng)式定理的兩類重點(diǎn)題型 題型分析 高考展望 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 是理科高考的考點(diǎn)之一 考查頻率較高 一般為選擇題或填空題 題目難度不大 為低 中檔題 主要考查兩類題型 一是求展開式的指定項(xiàng) 二是求各項(xiàng)和或系數(shù)和 只要掌握兩類題型的常規(guī)解法 該部分題目就能會(huì)做 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一求展開項(xiàng) 題型二賦值法求系數(shù)之和 常考題型精析 題型一求展開項(xiàng) 例1 1 2015 課標(biāo)全國(guó) x2 x y 5的展開式中 x5y2的系數(shù)為 A 10B 20C 30D 60解析方法一利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解 x2 x y 5 x2 x y 5 方法二利用組合知識(shí)求解 x2 x y 5為5個(gè)x2 x y之積 其中有兩個(gè)取y 兩個(gè)取x2 一個(gè)取x即可 答案C 2 2014 課標(biāo)全國(guó) x y x y 8的展開式中x2y7的系數(shù)為 用數(shù)字填寫答案 20 點(diǎn)評(píng)應(yīng)用通項(xiàng)公式要注意四點(diǎn) 1 Tk 1是展開式中的第k 1項(xiàng) 而不是第k項(xiàng) 2 公式中a b的指數(shù)和為n 且a b不能隨便顛倒位置 3 要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開 以便于解決問題 4 對(duì)二項(xiàng)式 a b n展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問題 變式訓(xùn)練1 1 2015 重慶 的展開式中x8的系數(shù)是 用數(shù)字作答 2 使 n N 的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為 A 4B 5C 6D 7 B 題型二賦值法求系數(shù)之和 例2在 2x 3y 10的展開式中 求 1 二項(xiàng)式系數(shù)的和 2 各項(xiàng)系數(shù)的和 3 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 4 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和 5 x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和 解設(shè) 2x 3y 10 a0 x10 a1x9y a2x8y2 a10y10 各項(xiàng)系數(shù)和為a0 a1 a10 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a0 a2 a10 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1 a3 a5 a9 x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0 a2 a4 a10 由于 是恒等式 故可用 賦值法 求出相關(guān)的系數(shù)和 4 令x y 1 得到a0 a1 a2 a10 1 令x 1 y 1 或x 1 y 1 得a0 a1 a2 a3 a10 510 得2 a0 a2 a10 1 510 得2 a1 a3 a9 1 510 點(diǎn)評(píng) 1 賦值法 普遍適用于恒等式 是一種重要的方法 對(duì)形如 ax b n ax2 bx c m a b R 的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和 常用賦值法 只需令x 1即可 對(duì)形如 ax by n a b R 的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和 只需令x y 1即可 2 若f x a0 a1x a2x2 anxn 則f x 展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f 1 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0 a2 a4 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1 a3 a5 變式訓(xùn)練2 1 2015 課標(biāo)全國(guó) a x 1 x 4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32 則a 解析設(shè) a x 1 x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 令x 1 得16 a 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 得0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 得16 a 1 2 a1 a3 a5 即展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為a1 a3 a5 8 a 1 所以8 a 1 32 解得a 3 3 2 若 1 2x 2n a0 a1x a2x2 a2n 1x2n 1 a2nx2n 則a1 a3 a2n 1 解析令x 1 得a0 a1 a2 a2n 32n 令x 1 得a0 a1 a2 a2n 1 a2n 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 在 1 x 6 1 y 4的展開式中 記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f m n 則f 3 0 f 2 1 f 1 2 f 0 3 等于 A 45B 60C 120D 210 C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2015 陜西 二項(xiàng)式 x 1 n n N 的展開式中x2的系數(shù)為15 則n等于 A 4B 5C 6D 7 C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2014 安徽 設(shè)a 0 n是大于1的自然數(shù) n的展開式為a0 a1x a2x2 anxn 若點(diǎn)Ai i ai i 0 1 2 的位置如圖所示 則a 解析由題意知A0 0 1 A1 1 3 A2 2 4 故a0 1 a1 3 a2 4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案3 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 設(shè)m為正整數(shù) x y 2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a x y 2m 1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b 若13a 7b 則m等于 A 5B 6C 7D 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M 二項(xiàng)式系數(shù)之和為N 若M N 240 則展開式中x的系數(shù)為 A 150B 150C 300D 300 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N 2n 4n 2n 240 2n 16 n 4 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 設(shè)a Z 且0 a 13 若512016 a能被13整除 則a的值為 A 0B 1C 11D 12解析512016 a 52 1 2016 a 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因?yàn)?2能被13整除 即a 1能被13整除 因?yàn)? a 13 所以a 12 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 若 1 x 2 x 2015 a0 a1x a2x2 a2015x2015 a2016x2016 則a2 a4 a2014 a2016等于 A 2 22011B 2 22012C 1 22015D 1 22016解析采用賦值法 令x 1 得a0 a1 a2 a2015 a2016 2 令x 1 得a0 a1 a2 a2015 a2016 0 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 把兩式相加 得2 a0 a2 a2016 2 所以a0 a2 a2016 1 又令x 0 得a0 22015 所以a2 a4 a2014 a2016 1 22015 故選C 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 5 B 5 C 5 D 5 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m 5 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令12 3k 3 得k 3 由Ca6 3b3 20得ab 1 答案2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 令x 1得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為 1 2 7 37 2187 所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為27 128 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 于是當(dāng)k 0 2 4 6時(shí) 對(duì)應(yīng)項(xiàng)為有理項(xiàng) 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 若展開式中第5項(xiàng) 第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列 求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù) 解得n 7或n 14 當(dāng)n 7時(shí) 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 當(dāng)n 14時(shí) 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 所以n 12或n 13 舍去 設(shè)Tk 1項(xiàng)的系數(shù)最大 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又因?yàn)? k 12且k N 所以k 10 所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11