專題7解析幾何 第33練直線與圓錐曲線的綜合問題 題型分析 高考展望 本部分重點考查直線和圓錐曲線的綜合性問題 從近幾年的高考試題來看 除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外 在選擇題或填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來 本部分的主要特點是運算量大 思維難度較高 但有時靈活地借助幾何性質(zhì)來分析問題可能會收到事半功倍的效果 預(yù)測在今后高考中 主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進行命題 有時會與向量的 共線 模和數(shù)量積等聯(lián)系起來 對于方程的求解 不要忽視軌跡的求解形式 后面的設(shè)問將是對最值 定值 定點 參數(shù)范圍的考查 探索類和存在性問題考查的概率也很高 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用 題型二直線與圓錐曲線的弦的問題 常考題型精析 題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用 解析設(shè)左焦點為F0 連接F0A F0B 則四邊形AFBF0為平行四邊形 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 1 b 2 答案A 若直線l過點P 0 4 則直線l何時與橢圓M相交 解 過點P 0 4 的直線l垂直于x軸時 直線l與橢圓M相交 過點P 0 4 的直線l與x軸不垂直時 可設(shè)直線l的方程為y kx 4 消去y 得 1 2k2 x2 16kx 28 0 因為直線l與橢圓M相交 所以 16k 2 4 1 2k2 28 16 2k2 7 0 點評對于求過定點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 一是利用方程的根的判別式來確定 但一定要注意 利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為零 二是利用圖形來處理和理解 三是直線過定點位置不同 導(dǎo)致直線與圓錐曲線的位置關(guān)系也不同 變式訓(xùn)練1已知橢圓C a b 0 的焦距為4 且過點P 1 求橢圓C的方程 解由已知條件得橢圓C的焦點為F1 2 0 F2 2 0 則G x1 0 直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點 題型二直線與圓錐曲線的弦的問題 例2設(shè)橢圓C 1 a b 0 的左 右焦點分別為F1 F2 且焦距為6 點P是橢圓短軸的一個端點 PF1F2的周長為16 1 求橢圓C的方程 解設(shè)橢圓的半焦距為c 則由題意 所以b2 a2 c2 52 32 16 即x2 3x 8 0 因為點 3 0 在橢圓內(nèi) 設(shè)直線l與橢圓C的交點為A x1 y1 B x2 y2 因為x1 x2 3 因為 3 0 在橢圓內(nèi) 所以直線l與橢圓有兩個交點 設(shè)兩交點的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 中點M的坐標為 x0 y0 點評直線與圓錐曲線弦的問題包括求弦的方程 弦長 弦的位置確定 弦中點坐標軌跡等問題 解決這些問題的總體思路是設(shè)相關(guān)量 找等量關(guān)系 利用幾何性質(zhì)列方程 組 不等式 組 或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 使問題解決 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 由 16k2n2 4 1 2k2 2n2 2 0得1 2k2 n2 令r 1 2k2代入上式得 3r2 16n2r 16n4 0 又點P為橢圓C上一點 經(jīng)檢驗 適合題意 高考題型精練 1 2015 北京 已知橢圓C x2 3y2 3 過點D 1 0 且不過點E 2 1 的直線與橢圓C交于A B兩點 直線AE與直線x 3交于點M 1 求橢圓C的離心率 1 2 3 4 高考題型精練 2 若AB垂直于x軸 求直線BM的斜率 解因為AB過點D 1 0 且垂直于x軸 所以可設(shè)A 1 y1 B 1 y1 直線AE的方程為y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 1 2 3 4 高考題型精練 3 試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系 并說明理由 解直線BM與直線DE平行 證明如下 當(dāng)直線AB的斜率不存在時 由 2 可知kBM 1 所以BM DE 當(dāng)直線AB的斜率存在時 1 2 3 4 高考題型精練 設(shè)其方程為y k x 1 k 1 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 高考題型精練 得 1 3k2 x2 6k2x 3k2 3 0 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 所以kBM 1 kDE 所以BM DE 綜上可知 直線BM與直線DE平行 1 2 3 4 高考題型精練 2 已知拋物線C的頂點為O 0 0 焦點為F 0 1 1 求拋物線C的方程 解由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2 2py p 0 所以拋物線C的方程為x2 4y 1 2 3 4 高考題型精練 2 過點F作直線交拋物線C于A B兩點 若直線AO BO分別交直線l y x 2于M N兩點 求 MN 的最小值 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 直線AB的方程為y kx 1 所以x1 x2 4k x1x2 4 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 3 已知拋物線C的頂點為原點 其焦點F 0 c c 0 到直線l x y 2 0的距離為 設(shè)P為直線l上的點 過點P作拋物線C的兩條切線PA PB 其中A B為切點 1 求拋物線C的方程 所以拋物線C的方程為x2 4y 1 2 3 4 高考題型精練 2 當(dāng)點P x0 y0 為直線l上的定點時 求直線AB的方程 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則切線PA 1 2 3 4 高考題型精練 同理可得切線PB的方程為x2x 2y 2y2 0 又點P x0 y0 在切線PA和PB上 所以x1x0 2y0 2y1 0 x2x0 2y0 2y2 0 所以 x1 y1 x2 y2 為方程x0 x 2y0 2y 0的兩組解 所以直線AB的方程為x0 x 2y 2y0 0 1 2 3 4 高考題型精練 3 當(dāng)點P在直線l上移動時 求 AF BF 的最小值 解由拋物線定義知 AF y1 1 BF y2 1 所以 AF BF y1 1 y2 1 y1y2 y1 y2 1 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 4 已知點A B是拋物線C y2 2px p 0 上不同的兩點 點D在拋物線C的準線l上 且焦點F到直線x y 2 0的距離為 1 求拋物線C的方程 解得p 2 拋物線C的方程為y2 4x 1 2 3 4 高考題型精練 2 現(xiàn)給出以下三個論斷 直線AB過焦點F 直線AD過原點O 直線BD平行于x軸 請你以其中的兩個論斷作為條件 余下的一個論斷作為結(jié)論 寫出一個正確的命題 并加以證明 解 命題 若直線AB過焦點F 且直線AD過原點O 則直線BD平行于x軸 1 2 3 4 高考題型精練 設(shè)直線AB的方程為x ty 1 A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 高考題型精練 直線BD平行于x軸 命題 若直線AB過焦點F 且直線BD平行于x軸 則直線AD過原點O 設(shè)直線AB的方程為x ty 1 A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 高考題型精練 y1y2 4 1 2 3 4 高考題型精練 直線AD過原點O 命題 若直線AD過原點O 且直線BD平行于x軸 則直線AB過焦點F 設(shè)直線AD的方程為y kx k 0 則點D的坐標為 1 k 1 2 3 4 高考題型精練 直線BD平行于x軸 yB k 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 直線AB過焦點F