第43練不等式選講 專題9系列4選講 題型分析 高考展望 本部分主要考查絕對(duì)值不等式的解法 求含絕對(duì)值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對(duì)值不等式中參數(shù)的取值范圍 不等式的證明等 結(jié)合集合的運(yùn)算 函數(shù)的圖象和性質(zhì) 恒成立問題及基本不等式 絕對(duì)值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn) 主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想 分類討論思想 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一含絕對(duì)值不等式的解法 題型二不等式的證明 題型三利用算術(shù) 幾何平均不等式或柯西不等式證明或求最值 ?？碱}型精析 題型一含絕對(duì)值不等式的解法 例1已知函數(shù)f x x a 其中a 1 1 當(dāng)a 2時(shí) 求不等式f x 4 x 4 的解集 當(dāng)x 2時(shí) 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 當(dāng)2 x 4時(shí) f x 4 x 4 無解 當(dāng)x 4時(shí) 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 所以f x 4 x 4 的解集為 x x 1或x 5 2 已知關(guān)于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集為 x 1 x 2 求a的值 解記h x f 2x a 2f x 又已知 h x 2的解集為 x 1 x 2 點(diǎn)評(píng) 1 用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟 求零點(diǎn) 劃區(qū)間 去絕對(duì)值號(hào) 分別解去掉絕對(duì)值的不等式 取每個(gè)結(jié)果的并集 注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值 2 用圖象法 數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式 使得代數(shù)問題幾何化 既通俗易懂 又簡潔直觀 是一種較好的方法 變式訓(xùn)練1 2014 重慶改編 若不等式 2x 1 x 2 a2 a 2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 當(dāng)x5 題型二不等式的證明 證明因?yàn)? y 3y 2 x y 2x y 2 x y 2x y 點(diǎn)評(píng) 1 作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法 作差法證明不等式的一般步驟 作差 分解因式 與0比較 結(jié)論 關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力 2 在不等式的證明中 適當(dāng) 放 縮 是常用的推證技巧 證明當(dāng) a b 0時(shí) 不等式顯然成立 當(dāng) a b 0時(shí) 由0 a b a b 題型三利用算術(shù) 幾何平均不等式或柯西不等式證明或求最值 解方法一因?yàn)閍 b c均為正數(shù) 由算術(shù) 幾何平均不等式得 a2 b2 c2 所以原不等式成立 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí) 式和 式等號(hào)成立 故當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時(shí) 原不等式等號(hào)成立 方法二因?yàn)閍 b c均為正數(shù) 由基本不等式得a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 所以a2 b2 c2 ab bc ac 所以原不等式成立 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí) 式和 式等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)a b c ab 2 bc 2 ac 2 3時(shí) 式等號(hào)成立 故當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時(shí) 原不等式等號(hào)成立 解方法一利用算術(shù) 幾何平均不等式 3a 1 3b 1 3c 1 3a 1 3b 1 3b 1 3c 1 3a 1 3c 1 3 3a 1 3b 1 3c 1 18 方法二利用柯西不等式 點(diǎn)評(píng)利用算術(shù) 幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí) 首先要觀察式子特點(diǎn) 構(gòu)造出基本不等式或柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式 其次要注意取得最值的條件是否成立 變式訓(xùn)練3 2015 福建 已知a 0 b 0 c 0 函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 解因?yàn)閒 x x a x b c x a x b c a b c 當(dāng)且僅當(dāng) a x b時(shí) 等號(hào)成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值為a b c 又已知f x 的最小值為4 所以a b c 4 解由 1 知a b c 4 由柯西不等式得 高考題型精練 1 2015 江蘇 解不等式x 2x 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2015 陜西 已知關(guān)于x的不等式 x a b的解集為 x 2 x 4 1 求實(shí)數(shù)a b的值 解由 x a b 得 b a x b a 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 1 求a3 b3的最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 2 是否存在a b 使得2a 3b 6 并說明理由 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 4 設(shè)函數(shù)f x x a 3x 其中a 0 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 3x 2的解集 解當(dāng)a 1時(shí) f x 3x 2可化為 x 1 2 由此可得x 3或x 1 故不等式f x 3x 2的解集為 x x 3或x 1 2 若不等式f x 0的解集為 x x 1 求a的值 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 解由f x 0得 x a 3x 0 此不等式化為不等式組 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 5 設(shè)a b c均為正數(shù) 且a b c 1 證明 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 證明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由題設(shè)得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 1 證明 f x 2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 2 若f 3 5 求a的取值范圍 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2014 福建 已知定義在R上的函數(shù)f x x 1 x 2 的最小值為a 1 求a的值 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 解因?yàn)?x 1 x 2 x 1 x 2 3 當(dāng)且僅當(dāng) 1 x 2時(shí) 等號(hào)成立 所以f x 的最小值等于3 即a 3 2 若p q r是正實(shí)數(shù) 且滿足p q r a 求證 p2 q2 r2 3 高考題型精練 證明由 1 知p q r 3 又因?yàn)閜 q r是正實(shí)數(shù) 所以 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2015 課標(biāo)全國 已知函數(shù)f x x 1 2 x a a 0 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 1的解集 解當(dāng)a 1時(shí) f x 1化為 x 1 2 x 1 1 0 當(dāng)x 1時(shí) 不等式化為x 4 0 無解 當(dāng)x 1時(shí) 不等式化為 x 2 0 解得1 x 2 高考題型精練 2 若f x 的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6 求a的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8