專(zhuān)題8概率與統(tǒng)計(jì) 第40練歸納推理與類(lèi)比推理 題型分析 高考展望 歸納推理與類(lèi)比推理是新增內(nèi)容 在高考中 常以選擇題 填空題的形式考查 題目難度不大 只要掌握合情推理的基礎(chǔ)理論知識(shí)和基本方法即可解決 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一利用歸納推理求解相關(guān)問(wèn)題 題型二利用類(lèi)比推理求解相關(guān)問(wèn)題 常考題型精析 題型一利用歸納推理求解相關(guān)問(wèn)題 例1 1 2015 陜西 觀察下列等式 據(jù)此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 解析等式左邊的特征 第1個(gè)等式有2項(xiàng) 第2個(gè)有4項(xiàng) 第3個(gè)有6項(xiàng) 且正負(fù)交錯(cuò) 故第n個(gè)等式左邊有2n項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò) 等式右邊的特征 第1個(gè)有1項(xiàng) 第2個(gè)有2項(xiàng) 第3個(gè)有3項(xiàng) 2 如圖所示 是某小朋友在用火柴拼圖時(shí)呈現(xiàn)的圖形 其中第1個(gè)圖形用了3根火柴 第2個(gè)圖形用了9根火柴 第3個(gè)圖形用了18根火柴 則第2014個(gè)圖形用的火柴根數(shù)為 A 2012 2015B 2013 2014C 2013 2015D 3021 2015 解析由題意 第1個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3 1 第2個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3 1 2 第3個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3 1 2 3 由此 可以推出 第n個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3 1 2 3 n 所以第2014個(gè)圖形所需火柴的根數(shù)為3 1 2 3 2014 答案D 點(diǎn)評(píng)歸納推理的三個(gè)特點(diǎn) 1 歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊對(duì)象 歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象 該結(jié)論超越了前提所包含的范圍 2 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì) 結(jié)論是否準(zhǔn)確 還需要經(jīng)過(guò)邏輯推理和實(shí)踐檢驗(yàn) 因此歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具 3 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理 通過(guò)歸納推理得到的猜想 可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn) 幫助發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題 變式訓(xùn)練1 2014 陜西 觀察分析下表中的數(shù)據(jù) 猜想一般凸多面體中F V E所滿足的等式是 解析觀察F V E的變化得F V E 2 F V E 2 題型二利用類(lèi)比推理求解相關(guān)問(wèn)題 例2如圖所示 在平面上 用一條直線截正方形的一個(gè)角 截下的是一個(gè)直角三角形 有勾股定理c2 a2 b2 空間中的正方體 用一平面去截正方體的一角 截下的是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐 若這三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1 S2 S3 截面面積為S 類(lèi)比平面中的結(jié)論有 解析建立從平面圖形到空間圖形的類(lèi)比 在由平面幾何的性質(zhì)類(lèi)比推理空間立體幾何的性質(zhì)時(shí) 注意平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)可類(lèi)比推理空間幾何中線的性質(zhì) 平面幾何中線的性質(zhì)可類(lèi)比推理空間幾何中面的性質(zhì) 平面幾何中面的性質(zhì)可類(lèi)比推理空間幾何中體的性質(zhì) 所以三角形類(lèi)比空間中的三棱錐 線段的長(zhǎng)度類(lèi)比圖形的面積 于是作出猜想 點(diǎn)評(píng)類(lèi)比推理的一般步驟 1 定類(lèi) 即找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表述的相似特征 2 推測(cè) 即用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征 從而得出一個(gè)猜想 3 檢驗(yàn) 即檢驗(yàn)猜想的正確性 要將類(lèi)比推理運(yùn)用于簡(jiǎn)單推理之中 在不斷的推理中提高自己的觀察 歸納 類(lèi)比能力 解析設(shè)正四面體的每個(gè)面的面積是S 高是h 內(nèi)切球半徑為R 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐 它們的體積之和為正四面體的體積 設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1 h2 h3 h4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A nnB n2C 3nD 2n 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析根據(jù)已知 續(xù)寫(xiě)一個(gè)不等式 由此可得a nn 故選A 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 觀察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 則a10 b10等于 A 28B 76C 123D 199解析觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1 3 4 7 11 其規(guī)律為從第三項(xiàng)起 每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和 所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng) 繼續(xù)寫(xiě)出此數(shù)列為1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 第十項(xiàng)為123 即a10 b10 123 C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2014 北京 學(xué)生的語(yǔ)文 數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí) 依次為 優(yōu)秀 合格 不合格 若學(xué)生甲的語(yǔ)文 數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙 且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙 則稱(chēng) 學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好 如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好 并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同 數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生 那么這組學(xué)生最多有 A 2人B 3人C 4人D 5人 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上 設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲 乙 丙 丁 則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣 且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣 或4位同學(xué)中必有兩個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)一樣 且這兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)不一樣 那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好 故滿足條件的學(xué)生不能超過(guò)3人 當(dāng)有3位學(xué)生時(shí) 用A B C表示 優(yōu)秀 合格 不合格 則滿足題意的有AC CA BB 所以最多有3人 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析從平面圖形類(lèi)比空間圖形 從二維類(lèi)比三維 如圖 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a E為等邊三角形ABC的中心 O為內(nèi)切球與外接球球心 設(shè)OA R OE r 則OA2 AE2 OE2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析若 an 是等差數(shù)列 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 仔細(xì)觀察下面 和 的排列規(guī)律 若依此規(guī)律繼續(xù)下去 得到一系列的 和 那么在前120個(gè) 和 中 的個(gè)數(shù)是 解析進(jìn)行分組 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易知f 14 119 f 15 135 故n 14 答案14 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù) 如三角形數(shù)1 3 6 10 第n個(gè)三角形數(shù)為 記第n個(gè)k邊形數(shù)為N n k k 3 以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式 正方形數(shù)N n 4 n2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 六邊形數(shù)N n 6 2n2 n 可以推測(cè)N n k 的表達(dá)式 由此計(jì)算N 10 24 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推測(cè) 1100 100 1000 答案1000 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 觀察下列等式12 112 22 312 22 32 612 22 32 42 10 照此規(guī)律 第n個(gè)等式可為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析觀察等式左邊的式子 每次增加一項(xiàng) 故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng) 指數(shù)都是2 且正 負(fù)相間 所以等式左邊的通項(xiàng)為 1 n 1n2 等式右邊的值的符號(hào)也是正 負(fù)相間 其絕對(duì)值分別為1 3 6 10 15 21 設(shè)此數(shù)列為 an 則a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 a5 a4 5 an an 1 n 各式相加得an a1 2 3 4 n 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 照此規(guī)律 第五個(gè)不等式為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析觀察每行不等式的特點(diǎn) 每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等 且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12