第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 最新考綱展示1 理解等差數(shù)列的概念 2 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 3 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系 并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 4 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 一 等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式1 定義 如果一個數(shù)列從起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的 等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列 符號表示為 n N d為常數(shù) 第2項(xiàng) 差 an 1 an d 二 等差數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn是其前n項(xiàng)和 則1 若m n p q 則 特別地 若m n 2p 則am an 2ap 2 am am k am 2k am 3k 仍是等差數(shù)列 公差為 3 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差數(shù)列 am an ap aq kd 3 等差數(shù)列可分為以下幾類 1 a1 0 d 0 2 a10 3 a1 0 d0時 等差數(shù)列 an 是單調(diào)遞增數(shù)列 當(dāng)d 0時 等差數(shù)列 an 是單調(diào)遞減數(shù)列 5 構(gòu)造新的等差數(shù)列 1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 是等差數(shù)列 2 a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 是等差數(shù)列 1 2014年高考重慶卷 在等差數(shù)列 an 中 a1 2 a3 a5 10 則a7 A 5B 8C 10D 14解析 由題意a3 a5 a1 2d a1 4d 10 得d 1 a7 a1 6d 8 答案 B 答案 A A p1 p2B p3 p4C p2 p3D p1 p4 答案 D 4 2014年遼寧五校聯(lián)考 設(shè)Sn是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若S7 35 則a4等于 A 8B 7C 6D 5 答案 D 答案 A 2 2015年寧德模擬 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a2 1 a4 5 則S5等于 A 7B 15C 30D 31 3 若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23 前9項(xiàng)和為57 則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 自主探究 規(guī)律方法 1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個量a1 an d n Sn 知其中三個就能求另外兩個 體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想 2 數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用 而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量 用它們表示已知和未知是常用方法 例2 2015年濱州市質(zhì)檢 已知數(shù)列 an 滿足a1 3 an an 1 2an 1 1 n 2 1 求a2 a3 a4 等差數(shù)列的判定 師生共研 規(guī)律方法證明一個數(shù)列 an 為等差數(shù)列的基本方法有兩種 1 利用等差數(shù)列的定義證明 即證明an 1 an d n N 2 利用等差中項(xiàng)證明 即證明an 2 an 2an 1 n N 1 2014年高考大綱全國卷 數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 設(shè)bn an 1 an 證明 bn 是等差數(shù)列 2 求 an 的通項(xiàng)公式 解析 1 證明 由an 2 2an 1 an 2得 an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首項(xiàng)為1 公差為2的等差數(shù)列 例3 1 2014年天津新華中學(xué)模擬 在等差數(shù)列 an 中 如果a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 數(shù)列 an 前9項(xiàng)的和為 A 297B 144C 99D 66 等差數(shù)列的基本性質(zhì) 師生共研 答案 1 C 2 5 2 等差數(shù)列 an 中 3 a3 a5 2 a7 a10 a13 24 則該數(shù)列的前13項(xiàng)和為 A 13B 26C 52D 156 答案 B 答案 D