第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 最新考綱展示1 理解等比數(shù)列的概念 2 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 3 能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系 并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題 4 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 一 等比數(shù)列的相關(guān)概念 二 等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列 an 是等比數(shù)列 Sn是其前n項(xiàng)和 1 若m n p q 則 其中m n p q N 特別地 若2s p r 則apar 其中p s r N 2 相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列 即ak ak m ak 2m 仍是等比數(shù)列 公比為 k m N 3 若數(shù)列 an bn 是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列 則數(shù)列 ban pan qbn 和 其中b p q是非零常數(shù) 也是數(shù)列 aman apaq qm 等比 qn qm 奇 等比 q q 1 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式拓展 an am qn m 2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn 1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是用錯(cuò)位相減法求得的 注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用 3 在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí) 如果不確定q與1的關(guān)系 一般要用分類討論的思想 分公比q 1和q 1兩種情況 3 等比數(shù)列 an Sn為其前n項(xiàng)和 則Sn可表示為Sn k qn b k 0 且k b 0 4 等比數(shù)列的單調(diào)性 5 在性質(zhì) 5 中 當(dāng)q 1且k為偶數(shù)時(shí) Sk S2k Sk S3k S2k 不是等比數(shù)列 6 在運(yùn)用等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)時(shí) 要注意字母間的上標(biāo) 下標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 答案 D 答案 C 3 2014年高考江蘇卷 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 則a6的值是 解析 設(shè)公比為q 因?yàn)閍2 1 則由a8 a6 2a4 得q6 q4 2q2 q4 q2 2 0 解得q2 2 所得a6 a2q4 4 答案 4 4 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 且Sm 10 S2m 30 則S3m m N 解析 an 是等比數(shù)列 S2m Sm 2 Sm S3m S2m 即202 10 S3m 30 得S3m 70 答案 70 5 若等比數(shù)列 an 滿足a2 a4 20 a3 a5 40 則公比q 前n項(xiàng)和Sn 答案 22n 1 2 例1 1 已知 an 為等比數(shù)列 a4 a7 2 a5a6 8 則a1 a10等于 A 7B 5C 5D 7 2 2014年鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè) 在正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中 a1 1 前n項(xiàng)和為Sn 且 a3 a2 a4成等差數(shù)列 則S7的值為 A 125B 126C 127D 128 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 自主探究 答案 1 D 2 C規(guī)律方法 1 等比數(shù)列 an 中有兩個(gè)基本量a1和q 在解決等比數(shù)列的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題時(shí) 可以將條件轉(zhuǎn)化為有關(guān)兩者的方程 組 求解 這是解決等比數(shù)列問(wèn)題的基本方法 這也是方程思想在數(shù)列問(wèn)題中的體現(xiàn) 2 應(yīng)用前n項(xiàng)和公式時(shí) 應(yīng)根據(jù)公比q的情況分類討論 切不可忽視q的取值盲目使用求和公式 例2 1 2015年濰坊四縣一區(qū)聯(lián)考 設(shè)等比數(shù)列 an 中 前n項(xiàng)和為Sn 已知S3 8 S6 7 則a7 a8 a9等于 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 師生共研 2 2014年北京四中檢測(cè) 正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中 若log2 a2a98 4 則a40a60等于 答案 1 A 2 16 規(guī)律方法 1 等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類 一是通項(xiàng)公式的變形 二是等比中項(xiàng)的變形 三是前n項(xiàng)和公式的變形 根據(jù)題目條件 認(rèn)真分析 發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口 2 巧用性質(zhì) 減少運(yùn)算量 在解題中非常重要 2 2015年大連模擬 已知等比數(shù)列 an 滿足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 則log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 A n 2n 1 B n 1 2C n2D n 1 2解析 a5 a2n 5 a 22n 且an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a2n 1 2n 1 答案 C 等比數(shù)列的判定與證明 師生共研 1 求首項(xiàng)a1的值 2 求證 數(shù)列 an 2n 是等比數(shù)列