第四節(jié)數(shù)列求和 最新考綱展示1 熟練掌握等差 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2 掌握非等差 等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法 一 公式法1 如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列 則求和時(shí)直接利用等差 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q 1或q 1 2 一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n n2 n2 n 二 非等差 等比數(shù)列求和的常用方法1 倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列 an 首末兩端等 距離 的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù) 那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的 2 分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成 則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法 分別求和而后相加減 3 錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的 那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的 4 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差 在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消 從而求得其和 數(shù)列求和的方法 1 一般的數(shù)列求和 應(yīng)從通項(xiàng)入手 若無(wú)通項(xiàng) 先求通項(xiàng) 然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形 轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式 從而選擇合適的方法求和 2 解決非等差 等比數(shù)列的求和 主要有兩種思路 轉(zhuǎn)化的思想 即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列 這一思想方法往往通過(guò)通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成 不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列 往往通過(guò)裂項(xiàng)相消法 錯(cuò)位相減法 倒序相加法等來(lái)求和 答案 C 2 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a1 2 且an 2an 1 an 2 0 n N 則S2014 解析 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 則an 2an 1 an 2 an 1 2q q2 0 an 0 q2 2q 1 0 解得q 1 S2014 0 答案 0 答案 1 2 3 4 5 6 例1 1 已知數(shù)列 xn 的首項(xiàng)x1 3 通項(xiàng)xn 2np nq n N p q為常數(shù) 且x1 x4 x5成等差數(shù)列 求p q的值 求數(shù)列 xn 前n項(xiàng)和Sn的公式 2 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n項(xiàng)和Sn 分組轉(zhuǎn)化法求和 自主探究 解析 1 由x1 3 得2p q 3 又因?yàn)閤4 24p 4q x5 25p 5q 且x1 x5 2x4 得3 25p 5q 25p 8q 解得p 1 q 1 規(guī)律方法 1 等差數(shù)列 等比數(shù)列以及由等差數(shù)列 等比數(shù)列通過(guò)加 減構(gòu)成的數(shù)列 它們可以使用等差數(shù)列 等比數(shù)列的求和公式求解 2 奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的 可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式 裂項(xiàng)相消法求和 師生共研 解析 1 由S n2 n 1 Sn n2 n 0 得 Sn n2 n Sn 1 0 由于 an 是正項(xiàng)數(shù)列 所以Sn 0 Sn n2 n 于是a1 S1 2 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 綜上 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 規(guī)律方法使用裂項(xiàng)法求和時(shí) 要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng) 保留了哪些項(xiàng) 切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng) 未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn) 實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的 例3 2013年高考山東卷 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且S4 4S2 a2n 2an 1 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 錯(cuò)位相減法求和 師生共研 規(guī)律方法 1 一般地 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和時(shí) 可采用錯(cuò)位相減法求和 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫(xiě)出 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊 以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出 Sn qSn 的表達(dá)式 2 2014年嘉興二模 在數(shù)列 an 中 a1 2 an 1 3an 2 1 記bn an 1 求證 數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 2 求數(shù)列 nan 的前n項(xiàng)和Sn 解析 1 證明 由an 1 3an 2 可得an 1 1 3 an 1 因?yàn)閎n an 1 所以bn 1 3bn 又b1 a1 1 3 所以數(shù)列 bn 是以3為首項(xiàng) 以3為公比的等比數(shù)列