第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題 最新考綱展示1 掌握解決直線與橢圓 拋物線的位置關(guān)系的思想方法 2 了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用 3 理解數(shù)形結(jié)合的思想 一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí) 通常將直線l的方程Ax By C 0 A B不同時(shí)為0 代入圓錐曲線C的方程F x y 0 消去y 也可以消去x 得到一個(gè)關(guān)于變量x 或變量y 的一元方程 1 當(dāng)a 0時(shí) 設(shè)一元二次方程ax2 bx c 0的判別式為 則 0 直線與圓錐曲線C 0 直線與圓錐曲線C 0 直線與圓錐曲線C 2 當(dāng)a 0 b 0時(shí) 即得到一個(gè)一次方程 則直線l與圓錐曲線C相交 且只有一個(gè)交點(diǎn) 此時(shí) 若C為雙曲線 則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行 若C為拋物線 則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行 相交 相切 無公共點(diǎn) 二 圓錐曲線的弦長(zhǎng)1 圓錐曲線的弦長(zhǎng)直線與圓錐曲線相交有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) 這條直線上以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段叫作圓錐曲線的弦 就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段 線段的長(zhǎng)就是弦長(zhǎng) 2 圓錐曲線的弦長(zhǎng)的計(jì)算 設(shè)斜率為k k 0 的直線l與圓錐曲線C相交于A B兩點(diǎn) A x1 y1 B x2 y2 則 AB 拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) AB x1 x2 p 為弦AB所在直線的傾斜角 1 直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí) 易誤認(rèn)為直線與雙曲線相切 事實(shí)上不一定相切 當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí) 直線與雙曲線相交于一點(diǎn) 2 直線與拋物線交于一點(diǎn)時(shí) 除直線與拋物線相切外易忽視直線與對(duì)稱軸平行時(shí)也相交于一點(diǎn) 一 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)1 判斷下列結(jié)論的正誤 正確的打 錯(cuò)誤的打 2 經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)有且只有一條直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) 3 過拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 答案 1 2 3 A 1條B 2條C 3條D 4條解析 結(jié)合圖形 圖略 知 過P 4 4 與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線 有兩條與雙曲線相切 另兩條與漸近線平行 共4條 答案 D 答案 1 2 解析 由題意知 AF1 AF2 BF1 BF2 AB AF2 BF2 2a 2a 又由a 5 可得 AB BF2 AF2 20 即 AB 8 答案 8 考情分析圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題是高考的重點(diǎn)問題 它是解決圓錐曲線綜合問題的重要途徑和手段 常見的題型有 1 求弦長(zhǎng)問題 2 求中點(diǎn)弦所在直線方程 3 拋物線中的中點(diǎn)弦問題 4 利用中點(diǎn)弦解決對(duì)稱問題 圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題 高頻研析 角度一求弦長(zhǎng)問題1 2015年石家莊模擬 已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)M 0 2 且在x軸上截得弦長(zhǎng)為4 設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C 1 求曲線C的方程 2 設(shè)點(diǎn)A為直線l x y 2 0上任意一點(diǎn) 過A作曲線C的切線 切點(diǎn)分別為P Q 求 APQ面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo) 答案 x 2y 8 0 角度三拋物線中中點(diǎn)弦問題3 過點(diǎn)M 2 2p 作拋物線x2 2py p 0 的兩條切線 切點(diǎn)分別為A B 若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6 則p的值是 答案 1或2 答案 0或 8 規(guī)律方法 1 利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)要注意斜率k不存在的情形 若k不存在時(shí) 可直接求交點(diǎn)坐標(biāo)再求弦長(zhǎng) 2 對(duì)于中點(diǎn)弦問題 常用的解題方法是平方差法 其解題步驟為 設(shè)點(diǎn) 即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo) 代入 即代入圓錐曲線方程 作差 即兩式相減 再用平方差公式把上式展開 整理 即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式 然后求解 考情分析圓錐曲線中的最值問題一直以來都是高考命題的熱點(diǎn) 各種題型都有 命題角度很廣 且思維含量大 歸納起來常見的命題角度有 1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)利用基本不等式或二次函數(shù)求最值 2 利用代數(shù)式的有界性求最值 3 利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)求最值 圓錐曲線中的最值問題 高頻研析 1 已知直線l的斜率為k 用a b k表示點(diǎn)P的坐標(biāo) 2 若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直 證明 點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a b 答案 1 A 2 B 答案 C 規(guī)律方法圓錐曲線中的最值問題類型較多 解法靈活多變 但總體上主要有兩種方法 一是利用幾何方法 即通過利用曲線的定義 幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理 性質(zhì)等進(jìn)行求解 二是利用代數(shù)方法 即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè) 些 參數(shù)的函數(shù) 解析式 然后利用函數(shù)方法 不等式方法等進(jìn)行求解 圓錐曲線中的范圍問題 師生共研 規(guī)律方法求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù) 通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍 在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件 把需要的量都用我們選用的變量表示 有時(shí)為了運(yùn)算的方便 在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個(gè)變量 只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可 同時(shí)要特別注意變量的取值范圍 考情分析與圓錐曲線有關(guān)的定點(diǎn) 定值及探索性問題是高考考查的熱點(diǎn)問題 一般處在壓軸題的位置 此類問題思維含量大 綜合性強(qiáng) 是考生能否取得高分的一道關(guān)鍵題目 定點(diǎn) 定值及探索性問題 高頻研析 角度一定點(diǎn)問題1 2014年高考山東卷 已知拋物線C y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為F A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn) 過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B 交x軸的正半軸于點(diǎn)D 且有 FA FD 當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí) ADF為正三角形 1 求C的方程 2 若直線l1 l 且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E 證明直線AE過定點(diǎn) 并求出定點(diǎn)坐標(biāo) ABE的面積是否存在最小值 若存在 請(qǐng)求出最小值 若不存在 請(qǐng)說明理由 角度二定值問題2 2014年高考江西卷 如圖 已知拋物線C x2 4y 過點(diǎn)M 0 2 任作一直線與C相交于A B兩點(diǎn) 過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D O為坐標(biāo)原點(diǎn) 1 證明 動(dòng)點(diǎn)D在定直線上 2 作C的任意一條切線l 不含x軸 與直線y 2相交于點(diǎn)N1 與 1 中的定直線相交于點(diǎn)N2 證明 MN2 2 MN1 2為定值 并求此定值 1 求橢圓C的方程 2 設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M 0 2 作直線AB交橢圓C于A B兩點(diǎn) 求 AOB面積的最大值 3 設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為N 是否存在直線l交橢圓于P Q兩點(diǎn) 使點(diǎn)F為 PQN的垂心 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 規(guī)律方法 1 定點(diǎn)的探索與證明問題 探索直線過定點(diǎn)時(shí) 可設(shè)出直線方程為y kx b 然后利用條件建立b k等量關(guān)系進(jìn)行消元 借助于直線系的思想找出定點(diǎn) 從特殊情況入手 先探求定點(diǎn) 再證明與變量無關(guān) 2 求定值問題常見的方法有兩種 從特殊入手 求出定值 再證明這個(gè)值與變量無關(guān) 直接推理 計(jì)算 并在計(jì)算推理的過程中消去變量 從而得到定值 3 存在性問題 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確則存在 若結(jié)論不正確則不存在 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí) 先假設(shè)成立 再推出條件 當(dāng)條件和結(jié)論都不知 按常規(guī)方法解題很難時(shí) 要思維開放 采取另外的途徑