最新考綱1 能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直 2 能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 3 掌握兩點(diǎn)間的距離公式 點(diǎn)到直線的距離公式 會(huì)求兩條平行直線間的距離 第2講兩直線的位置關(guān)系 1 兩條直線平行與垂直的判定 1 兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1 l2 其斜率分別為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 特別地 當(dāng)直線l1 l2的斜率都不存在時(shí) l1與l2 2 兩條直線垂直如果兩條直線l1 l2斜率都存在 設(shè)為k1 k2 則l1 l2 當(dāng)一條直線斜率為零 另一條直線斜率不存在時(shí) 兩條直線 知識梳理 k1 k2 平行 k1 k2 1 垂直 2 兩直線相交相交 方程組有 交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解 平行 方程組 重合 方程組有 唯一解 無解 無數(shù)個(gè)解 3 距離公式 1 兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1 x1 y1 P2 x2 y2 間的距離公式為 P1P2 特別地 原點(diǎn)O 0 0 與任一點(diǎn)P x y 的距離 OP 2 點(diǎn)到直線的距離公式平面上任意一點(diǎn)P0 x0 y0 到直線l Ax By C 0的距離d 3 兩條平行線間的距離公式一般地 兩條平行直線l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0間的距離d 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 精彩PPT展示 1 當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí) 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果兩條直線l1與l2垂直 則它們的斜率之積一定等于 1 3 已知直線l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2為常數(shù) 若直線l1 l2 則A1A2 B1B2 0 4 直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離 診斷自測 2 過點(diǎn) 1 0 且與直線x 2y 2 0平行的直線方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C 2x y 2 0D x 2y 1 0解析設(shè)所求直線方程為x 2y c 0 將 1 0 代入得c 1 所求直線方程為x 2y 1 0 答案A 3 2014 福建卷 已知直線l過圓x2 y 3 2 4的圓心 且與直線x y 1 0垂直 則l的方程是 A x y 2 0B x y 2 0C x y 3 0D x y 3 0解析已知圓的圓心為 0 3 直線x y 1 0的斜率為 1 則所求直線的斜率為1 所以所求直線的方程為y x 3 即x y 3 0 故選D 答案D 4 直線2x 2y 1 0 x y 2 0之間的距離是 5 人教A必修2P114A4改編 若直線 3a 2 x 1 4a y 8 0與 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 則a 解析由兩直線垂直的充要條件 得 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 解得a 0或a 1 答案0或1 考點(diǎn)一兩直線的平行與垂直 例1 已知直線l1 ax 2y 6 0和直線l2 x a 1 y a2 1 0 1 試判斷l(xiāng)1與l2是否平行 2 當(dāng)l1 l2時(shí) 求a的值 解 1 法一當(dāng)a 1時(shí) l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于l2 當(dāng)a 0時(shí) l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于l2 當(dāng)a 1且a 0時(shí) 綜上可知 a 1時(shí) l1 l2 法二由A1B2 A2B1 0 得a a 1 1 2 0 由A1C2 A2C1 0 得a a2 1 1 6 0 故當(dāng)a 1時(shí) l1 l2 2 法一當(dāng)a 1時(shí) l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1與l2不垂直 故a 1不成立 當(dāng)a 0時(shí) l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不垂直于l2 當(dāng)a 1且a 0時(shí) 規(guī)律方法 1 當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí) 若要表示出直線的斜率 不僅要考慮到斜率存在的一般情況 也要考慮到斜率不存在的特殊情況 同時(shí)還要注意x y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件 2 在判斷兩直線的平行 垂直時(shí) 也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論 訓(xùn)練1 已知過點(diǎn)A 2 m 和點(diǎn)B m 4 的直線為l1 直線2x y 1 0為l2 直線x ny 1 0為l3 若l1 l2 l2 l3 則實(shí)數(shù)m n的值為 A 10B 2C 0D 8答案A 考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離 例2 直線l經(jīng)過點(diǎn)P 2 5 且與點(diǎn)A 3 2 和點(diǎn)B 1 6 的距離之比為1 2 求直線l的方程 解當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí) 此時(shí)直線l的方程為x 2 點(diǎn)A到直線l的距離為d1 1 點(diǎn)B到直線l的距離為d2 3 不符合題意 故直線l的斜率必存在 直線l過點(diǎn)P 2 5 設(shè)直線l的方程為y 5 k x 2 即kx y 2k 5 0 k2 18k 17 0 k1 1 k2 17 所求直線方程為x y 3 0和17x y 29 0 規(guī)律方法利用距離公式應(yīng)注意 1 點(diǎn)P x0 y0 到直線x a的距離d x0 a 到直線y b的距離d y0 b 2 兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x y的系數(shù)化為相等 2 直線l過點(diǎn)P 1 2 且到點(diǎn)A 2 3 和點(diǎn)B 4 5 的距離相等 則直線l的方程為 兩直線的交點(diǎn)在第一象限 兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上 不包括端點(diǎn) 動(dòng)直線的斜率k需滿足kPA k kPB 即x 3y 5 0 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 直線l的方程為x 1 也符合題意 當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí) AB的中點(diǎn)為 1 4 直線l的方程為x 1 故所求直線l的方程為x 3y 5 0或x 1 考點(diǎn)三對稱問題 例3 已知直線l 2x 3y 1 0 點(diǎn)A 1 2 求 1 點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A 的坐標(biāo) 2 直線m 3x 2y 6 0關(guān)于直線l的對稱直線m 的方程 3 直線l關(guān)于點(diǎn)A 1 2 對稱的直線l 的方程 2 在直線m上取一點(diǎn) 如M 2 0 則M 2 0 關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m 上 設(shè)對稱點(diǎn)為M a b 3 法一在l 2x 3y 1 0上任取兩點(diǎn) 如M 1 1 N 4 3 則M N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M N 均在直線l 上 易知M 3 5 N 6 7 由兩點(diǎn)式可得l 的方程為2x 3y 9 0 法二設(shè)P x y 為l 上任意一點(diǎn) 則P x y 關(guān)于點(diǎn)A 1 2 的對稱點(diǎn)為P 2 x 4 y P 在直線l上 2 2 x 3 4 y 1 0 即2x 3y 9 0 規(guī)律方法 1 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱 求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M a b 的對稱點(diǎn)Q的問題 主要依據(jù)M是線段PQ的中點(diǎn) 即xP xQ 2a yP yQ 2b 2 直線關(guān)于點(diǎn)的對稱 求直線l關(guān)于點(diǎn)M m n 的對稱直線l 的問題 主要依據(jù)l 上的任一點(diǎn)T x y 關(guān)于M m n 的對稱點(diǎn)T 2m x 2n y 必在l上 3 點(diǎn)關(guān)于直線的對稱 求已知點(diǎn)A m n 關(guān)于已知直線l y kx b的對稱點(diǎn)A x0 y0 的坐標(biāo) 一般方法是依據(jù)l是線段AA 的垂直平分線 列出關(guān)于x0 y0的方程組 由 垂直 得一方程 由 平分 得一方程 4 直線關(guān)于直線的對稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱來解決 有兩種情況 一是已知直線與對稱軸相交 二是已知直線與對稱軸平行 訓(xùn)練3 光線沿直線l1 x 2y 5 0射入 遇直線l 3x 2y 7 0后反射 求反射光線所在的直線方程 反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為 1 2 又取直線x 2y 5 0上一點(diǎn)P 5 0 設(shè)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P x0 y0 微型專題直線系方程的靈活應(yīng)用直線系指具有某一共同性質(zhì)的直線的集合 它有多種不同的情況 其中以過兩條直線交點(diǎn)的直線系為主 利用直線系方程可以降低運(yùn)算難度 使解題的過程更加簡捷 因此在高考中這類問題也可能會(huì)成為考查的重點(diǎn) 例4 已知直線l與點(diǎn)A 3 3 和B 5 2 的距離相等 且過兩直線l1 3x y 1 0和l2 x y 3 0的交點(diǎn) 求直線l的方程 點(diǎn)撥不需要解兩直線l1與l2的交點(diǎn) 可設(shè)直線l為 3x y 1 x y 3 0 再分兩種情況分別求解 解根據(jù)條件可設(shè)直線l的方程為3x y 1 x y 3 0 即 3 x 1 y 3 1 0 直線l與點(diǎn)A 3 3 和B 5 2 的距離相等可分為兩種情況 此時(shí)直線l的方程為x 6y 11 0 綜上 可知所求直線l的方程為x 2y 5 0或x 6y 11 0 點(diǎn)評一般情況下 若兩條直線l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0有交點(diǎn) 則過l1與l2的交點(diǎn)的直線系方程可設(shè)為A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 不含l2 利用這一結(jié)論可以避免求交點(diǎn)時(shí)解方程組帶來的麻煩 思想方法 1 兩直線的位置關(guān)系要考慮平行 垂直和重合 對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 2 對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對稱 利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法 3 光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點(diǎn) 這樣就有兩種對稱關(guān)系 一是入射光線與反射光線關(guān)于過反射點(diǎn)且與反射軸垂直的直線 法線 對稱 二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對稱 易錯(cuò)防范 1 在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí) 首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在 若兩條直線都有斜率 可根據(jù)判定定理判斷 若直線無斜率 要單獨(dú)考慮 2 使用點(diǎn)到直線的距離公式前必須將直線方程化為一般式 同時(shí)此公式對直線與坐標(biāo)軸垂直或平行的情況也適用 使用兩平行線間的距離公式時(shí)一定要注意先把兩直線方程中的x y的系數(shù)化成相等