4 5 1含有絕對(duì)值的不等式4 5 2幾個(gè)重要不等式的證明及其應(yīng)用 選修4 5不等式選講 知識(shí)點(diǎn) 考綱下載 絕對(duì)值不等式 幾個(gè)重要不等式的證明及其應(yīng)用 通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 了解證明不等式的基本方法 比較法 綜合法 分析法 4 5 1絕對(duì)值不等式 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c 1 若不等式 ax 2 6的解集為 1 2 則實(shí)數(shù)a等于 A 8B 2C 4D 8 解析 由 ax 2 0時(shí) 有 8 a x 4 a 由已知得 8 a 1 4 a 2 無(wú)解 當(dāng)a 0時(shí) 有4 a x 8 a 由已知得4 a 1 8 a 2 a 4 故選C 答案 C 5 若不等式 x 1 x 3 a 4 a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 當(dāng)a 0時(shí) 顯然成立 當(dāng)a 0時(shí) x 1 x 3 的最小值為4 a 4 a 4 a 2 綜上可知a的取值范圍是 0 2 答案 0 2 絕對(duì)值三角不等式定理 1 該定理可以強(qiáng)化為 a b a b a b 它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式 2 當(dāng)ab 0時(shí) a b a b 當(dāng)ab 0時(shí) a b a b 這兩個(gè)結(jié)論在解題時(shí)經(jīng)常用到 應(yīng)熟練掌握 答案 A 絕對(duì)值不等式的解法 絕對(duì)值不等式的證明 含絕對(duì)值不等式的證明題主要分兩類 一類是比較簡(jiǎn)單的不等式 往往可通過(guò)公式法 平方法 換元法等去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題 或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理 a b a b a b 通過(guò)適當(dāng)?shù)奶?拆項(xiàng)證明 另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式 往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明 1 熟練掌握絕對(duì)值不等式的基本解法 2 充分利用絕對(duì)值的幾何意義處理絕對(duì)值不等式 更直觀 簡(jiǎn)捷 3 注意絕對(duì)值三角不等式的運(yùn)用 本節(jié)內(nèi)容在高考中主要考查至多含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式的求解問(wèn)題 絕對(duì)值三角不等式和簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值不等式證明 其中絕對(duì)值不等式的解法是熱點(diǎn) 題型為填空題和解答題 難度屬中等偏易 1 2014 重慶卷 若不等式 2x 1 x 2 a2 1 2a 2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 令f x 2x 1 x 2 則 當(dāng)x5 當(dāng) 2 x 12時(shí) f x 2x 1 x 2 x 3 故5 2 f x 5 當(dāng)x 1 2時(shí) f x 2x 1 x 2 3x 1 5 2 綜合 可知f x 5 2 所以要使不等式恒成立 則需a2 1 2a 2 5 2 解得 1 a 1 2 答案 1 1 2 2 2014 江西卷 x y R 若 x y x 1 y 1 2 則x y的取值范圍為 時(shí)作業(yè)4 5 1 課時(shí)作業(yè)4 5 1 4 5 2幾個(gè)重要不等式的證明及其應(yīng)用 4 證明不等式的方法 1 比較法 求差比較法知道a b a b 0 ab 只要證明a b 0即可 這種方法稱為求差比較法 求商比較法由a b 0 ab 1且a 0 b 0 因此當(dāng)a 0 b 0時(shí)要證明a b 只要證明a b 1即可 這種方法稱為求商比較法 2 分析法從待證不等式出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式 已知條件 定理等 這種證法稱為分析法 即 執(zhí)果索因 的證明方法 3 綜合法從已知條件出發(fā) 利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理 經(jīng)過(guò)推理論證 推導(dǎo)出所要證明的不等式成立 即 由因?qū)す?的方法 這種證明不等式的方法稱為綜合法 4 反證法的證明步驟第一步 作出與所證不等式相反的假設(shè) 第二步 從條件和假設(shè)出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾的結(jié)論 否定假設(shè) 從而證明原不等式成立 5 放縮法所謂放縮法 即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小 以利于化簡(jiǎn) 并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯 從而得到欲證不等式成立 6 數(shù)學(xué)歸納法設(shè) Pn 是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合 如果 1 證明起始命題P1 或P0 成立 2 在假設(shè)Pk成立的前提下 推出Pk 1也成立 那么可以斷定 Pn 對(duì)一切自然數(shù)成立 用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 實(shí)質(zhì)上就是利用基本不等式進(jìn)行放縮 在放縮過(guò)程中要注意兩點(diǎn) 一是要注意 放 或 縮 的結(jié)果是否為常數(shù) 二是要注意 放 或 縮 的過(guò)程中等號(hào)成立的條件是否滿足 方法二 不等式證明 1 比較法 比較法是證明不等式的最基本 最重要方法之一 可分為差值比較 作差法 和商值 作商法 比較 2 綜合法 從不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理 已知成立的不等式出發(fā)經(jīng)過(guò)邏輯推理 最后達(dá)到要證明的結(jié)論 3 分析法 從待證的結(jié)論出發(fā) 逐步尋找使它成立的充分條件 直至找到一個(gè)明顯成立的結(jié)論 分析法要注意敘述的形式 要證A 只需證B 這里B是A成立的充分條件 分析法和綜合法是兩種思路截然相反的證明方法 分析法便于尋找解題思路 綜合法便于敘述 因而在解題中經(jīng)常結(jié)合使用 1 證明不等式除了比較法 綜合法 分析法 還可運(yùn)用反證法 放縮法 數(shù)學(xué)歸納法等 證明不等式時(shí)既可探索新的方法 也可一題多證開(kāi)闊思路 2 運(yùn)用柯西不等式的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造兩組數(shù) 并向柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化 從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看 不等式的證明方法大多與其它章節(jié)習(xí)題綜合出題 單獨(dú)命題時(shí)大多是填空或選擇題 屬中檔或容易題 湖北省作為必考內(nèi)容 在考試中應(yīng)該有體現(xiàn) 復(fù)習(xí)時(shí)注意引起重視