第二篇函數(shù) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 必修1 選修1 1 六年新課標(biāo)全國卷試題分析 第1節(jié)函數(shù)及其表示 1 了解構(gòu)成函數(shù)的要素 會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域 了解映射的概念 知識鏈條完善把散落的知識連起來 教材導(dǎo)讀 1 如何判斷兩個函數(shù)是否為相等函數(shù) 提示 需要同時(shí)滿足以下兩點(diǎn) 1 定義域相同 2 對應(yīng)關(guān)系完全一致 提示 不是 因?yàn)槠涠x域是空集 而函數(shù)的定義中 A B兩集合是非空的 3 如何判斷坐標(biāo)平面上的曲線是否為函數(shù)的圖像 提示 平移與x軸垂直的直線 平移過程中直線與曲線的公共點(diǎn)不超過1個 曲線為函數(shù)的圖像 知識梳理 1 函數(shù)與映射的概念 1 函數(shù)的概念給定兩個A和B 如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f 對于集合A中任何一個數(shù)x 在集合B中都存在的數(shù)f x 與之對應(yīng) 那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù) 記作f A B 或y f x x A 此時(shí) x叫作 集合A叫作函數(shù)的 集合 f x x A 叫作函數(shù)的值域 習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù) 2 映射的概念兩個非空A與B間存在著對應(yīng)關(guān)系f 而且對于A中的每一個元素x B中總有唯一的一個元素y與它對應(yīng) 就稱這種對應(yīng)從A到B的映射 記作f A B A中的元素x稱為 B中的對應(yīng)元素y稱為x的 記作f x y 非空數(shù)集 唯一確定 自變量 定義域 集合 原像 像 3 函數(shù)與映射的關(guān)系函數(shù)是一種特殊的映射 是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射 而映射不一定是函數(shù) 4 用映射定義函數(shù)設(shè)A B是兩個非空數(shù)集 f是A到B的一個映射 那么映射f A B就叫作A到B的函數(shù) 原像的集合稱為函數(shù)的定義域 像的集合稱為函數(shù)的值域 2 函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有 列表法 圖像法 3 分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上 因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示 這種函數(shù)稱為分段函數(shù) 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集 其值域等于各段函數(shù)的值域的并集 分段函數(shù)雖由幾部分組成 但它表示的是一個函數(shù) 解析法 夯基自測 A 解析 由函數(shù)定義知 函數(shù)f A B的值域是B的子集 可能不是B 假 函數(shù)與映射是兩個概念 函數(shù)是特殊的映射 但映射不一定是函數(shù) 假 函數(shù)的定義中要求 集合A中的任意一個數(shù)在集合B中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)才是函數(shù) 假 f x 與g t 的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同 真 函數(shù)y x與y 2x 1的定義域和值域都是R 但它們的對應(yīng)關(guān)系不同 不是相等函數(shù) 假 分段函數(shù)是一個函數(shù)含有幾段 假 C 3 若函數(shù)y f x 的定義域?yàn)镸 x 2 x 2 值域?yàn)镹 y 0 y 2 則函數(shù)y f x 的圖象可能是 解析 選項(xiàng)A 定義域?yàn)?x 2 x 0 不正確 選項(xiàng)C 當(dāng)x在 2 2 取值時(shí) y有兩個值和x對應(yīng) 不符合函數(shù)的概念 選項(xiàng)D 值域不為 0 2 不正確 選項(xiàng)B正確 B 4 f x 是一次函數(shù) 且2f 1 3f 2 3 2f 1 f 0 1 則f x 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識 函數(shù)的概念 考點(diǎn)一 定義域與對應(yīng)法則相同嗎 2 設(shè)M x 0 x 2 N y 0 y 2 給出如圖所示四個圖形 其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 2 中 當(dāng)x 1時(shí) 在N中有兩個元素與之對應(yīng) 所以 不是 中 因?yàn)榧螹中 當(dāng)1 x 2時(shí) 在N中無元素與之對應(yīng) 所以 不是 中 當(dāng)x 2 或x 0 時(shí)對應(yīng)元素y 3N 所以 不是 由函數(shù)定義知 是 故選B 用函數(shù)的概念確定 反思?xì)w納 1 函數(shù)的值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定 當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù) 2 判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù) 就看這個對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中 定義域內(nèi)的任意一個自變量值都有唯一確定的函數(shù)值 這個核心點(diǎn) 解析 A中 x 3時(shí)集合B中無元素對應(yīng) 不是 B中 是映射 C中 x 0時(shí) 集合B中無元素對應(yīng) 不是 D中 集合A中元素9在集合B中無元素對應(yīng) 不是 故選B 函數(shù)的定義域 考點(diǎn)二 答案 1 A 對數(shù)的真數(shù) 偶次方根 答案 2 1 1 1 2016 范圍 分母 反思?xì)w納 1 求定義域的方法 分式的分母不為0 偶次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù) 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0 零次冪的底數(shù)不能為零 2 求函數(shù)定義域的注意點(diǎn) 不要對解析式進(jìn)行化簡變形 以免定義域變化 當(dāng)一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和 差 積 商的形式構(gòu)成時(shí) 定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集 定義域是一個集合 要用集合或區(qū)間表示 若用區(qū)間表示 不用 或 連接 而用并集符號 連接 答案 1 0 1 2 2015安慶模擬 若函數(shù)y f x 1 的定義域是 1 2 則y f x 的定義域是 解析 2 y f x 中的x相當(dāng)于y f x 1 中的x 1 而y f x 1 中的x 1 2 所以x 1 0 1 即y f x 的定義域是 0 1 答案 2 0 1 求函數(shù)的解析式 考點(diǎn)三 用x的倒數(shù)替換x 構(gòu)造方程 2 2015宿遷模擬改編 已知二次函數(shù)f 2x 1 4x2 6x 5 則f x 答案 2 x2 5x 9 x R 換元法或待定系數(shù)法 反思?xì)w納求函數(shù)解析式常用方法 1 配湊法 由已知條件f g x F x 可將F x 改寫成關(guān)于g x 的表達(dá)式 然后以x替代g x 便得f x 的表達(dá)式 2 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型 如一次函數(shù) 二次函數(shù) 可用待定系數(shù)法 3 換元法 已知復(fù)合函數(shù)f g x 的解析式 可用換元法 此時(shí)要注意新元的取值范圍 答案 1 x2 1 x 1 分段函數(shù) 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)四 答案 1 C 注意把 2和log212代入對應(yīng)的函數(shù) 答案 2 0 要分段求后再合并 反思?xì)w納與分段函數(shù)有關(guān)問題的類型及求解思路 1 求分段函數(shù)的函數(shù)值 根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解 有時(shí)各段交替使用求值 2 求分段方程或分段不等式的解 依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解 最后將討論結(jié)果并起來 2 因?yàn)閒 0 3 0 2 2 f f 0 f 2 4 2a 4a 所以a 2 答案 1 7 2 2 備選例題 例3 已知f 0 1 對任意的實(shí)數(shù)x y 都有f x y f x y 2x y 1 則f x 的解析式為 解析 令x 0 得f y f 0 y y 1 1 y2 y 所以f y y2 y 1 即f x x2 x 1 答案 f x x2 x 1 易混易錯辨析用心練就一雙慧眼 分段函數(shù)的參數(shù)求值誤區(qū) 答案 2 0 10