第9節(jié)函數(shù)模型及其應用 1 了解指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的增長特征 結合具體實例體會直線上升 指數(shù)增長 對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 知識鏈條完善把散落的知識連起來 教材導讀 1 函數(shù)y 2x的函數(shù)值在 0 上一定比y x2的函數(shù)值大嗎 提示 不一定 當x 0 2 和 4 時 2x x2 當x 2 4 時 x2 2x 2 對于指數(shù)型函數(shù)y a bx c形容增長速度越來越快時 對參數(shù)a b c有什么要求 提示 要使得指數(shù)型函數(shù)y abx c增長速度越來越快 須a 0 b 1 對于c為常數(shù)沒有要求 知識梳理 1 函數(shù)模型及其性質的比較 1 幾種常見的函數(shù)模型 ax b ax2 bx c 2 三種函數(shù)模型性質比較 遞增 遞增 遞增 快 慢 2 解答函數(shù)應用題的一般步驟 1 審題弄清題意 分清條件和結論 理順數(shù)量關系 初步選擇函數(shù)模型 2 建模將自然語言轉化為數(shù)學語言 將文字語言轉化為符號語言 利用數(shù)學知識 建立相應的函數(shù)模型 3 求模求解函數(shù)模型 得出數(shù)學結論 4 還原將數(shù)學問題還原為實際問題的意義 以上過程用框圖表示如下 重要結論 1 在區(qū)間 0 上 盡管函數(shù)y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函數(shù) 但它們的增長速度不同 而且不在同一個 檔次 上 2 隨著x的增大 y ax a 1 的增長速度越來越快 會超過并遠遠大于y xn n 0 的增長速度 而y logax a 1 的增長速度則會越來越慢 3 總會存在一個x0 使得當x x0時 有l(wèi)ogax xn ax 夯基自測 A B 2 物價上漲是當前的主要話題 特別是菜價 我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價 提出四種綠色運輸方案 據預測 這四種方案均能在規(guī)定的時間T內完成預測的運輸任務Q0 各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關系如圖所示 在這四種方案中 運輸效率 單位時間內的運輸量 逐步提高的是 解析 由運輸效率 單位時間內的運輸量 逐步提高得曲線上的點的切線斜率應該逐漸增大 故選B C 3 2015泉州模擬 某產品的總成本y 萬元 與產量x 臺 之間的函數(shù)關系是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 x N 若每臺產品的售價為25萬元 則生產者不虧本時 銷售收入不小于總成本 的最低產量是 A 100臺 B 120臺 C 150臺 D 180臺 解析 設利潤為f x 萬元 則f x 25x 3000 20 x 0 1x2 0 1x2 5x 3000 0 所以x 150 4 某種細胞在培養(yǎng)過程中正常情況下 時刻t 單位 分鐘 與細胞數(shù)n 單位 個 的部分數(shù)據如下 根據表中數(shù)據 推測繁殖到1000個細胞時的時刻t最接近于分鐘 答案 200 考點專項突破在講練中理解知識 二次函數(shù)模型 考點一 例1 2015菏澤質檢 某商場欲經銷某種商品 考慮到不同顧客的喜好 決定同時銷售A B兩個品牌 根據生產廠家營銷策略 結合本地區(qū)以往經銷該商品的數(shù)據統(tǒng)計分析 A品牌的銷售利潤y1與投入資金x成正比 其關系如圖1所示 B品牌的銷售利潤y2與投入資金x的算術平方根成正比 其關系如圖2所示 利潤與資金的單位 萬元 1 分別將A B兩個品牌的銷售利潤y1 y2表示為投入資金x的函數(shù)關系式 2 該商場計劃投入5萬元經銷該種商品 并全部投入A B兩個品牌 問 怎樣分配這5萬元資金 才能使經銷該種商品獲得最大利潤 其最大利潤為多少萬元 反思歸納實際生活中的二次函數(shù)問題 如面積 利潤 產量等 可根據已知條件確定二次函數(shù)模型 結合二次函數(shù)的圖像 單調性 零點解決 解題中一定要注意函數(shù)的定義域 即時訓練 如圖所示 已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕 其中AE 4米 CD 6米 為了合理利用這塊鋼板 將在五邊形ABCDE內截取一個矩形塊BNPM 使點P在邊DE上 1 設MP x米 PN y米 將y表示成x的函數(shù) 求該函數(shù)的解析式及定義域 2 求矩形BNPM面積的最大值 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型 考點二 反思歸納應用指數(shù)函數(shù)模型應注意的問題 1 指數(shù)函數(shù)模型的應用類型 常與增長率相結合進行考查 在實際問題中有人口增長 銀行利率 細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決 2 應用指數(shù)函數(shù)模型時的關鍵 關鍵是對模型的判斷 先設定模型 再將已知有關數(shù)據代入驗證 確定參數(shù) 從而確定函數(shù)模型 3 y a 1 x n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質求解 2 當一只燕子的耗氧量是80個單位時 它的飛行速度是多少 分段函數(shù)模型 考點三 2 當年產量為多少萬部時 蘋果公司在該款iPhone手機的生產中所獲得的利潤最大 并求出最大利潤 反思歸納 1 分段函數(shù)的特征主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同 分段函數(shù)模型的最值問題 應先求出每一段上的最值 然后比較大小 2 構造分段函數(shù)時 要力求準確 簡潔 做到分段合理保證不重不漏 2 該項目每月處理量為多少噸時 才能使每噸的平均處理成本最低 備選例題 例1 如圖 已知l1 l2 圓心在l1上 半徑為1m的圓O在t 0時與l2相切于點A 圓O沿l1以1m s的速度勻速向上移動 圓被直線l2所截得到的上方圓弧長記為x 令y cosx 則y與時間t 0 t 1 單位 s 的函數(shù)y f t 的圖象大致為 例2 2015昆明模擬 在如圖所示的銳角三角形空地中 欲建一個面積最大的內接矩形花園 陰影部分 則其邊長x為m 答案 20 例3 2015北京模擬 已知甲 乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元 且乙廠在2月份的利潤是8萬元 若甲 乙兩個工廠的利潤 萬元 與月份x之間的函數(shù)關系式分別符合下列函數(shù)模型 f x a1x2 4x 6 g x a2 3x b2 a1 a2 b2 R 1 求函數(shù)f x 與g x 的解析式 2 比較甲 乙兩個工廠在今年5月份的利潤大小 3 在同一直角坐標系下畫出函數(shù)f x 與g x 的草圖 并根據草圖比較今年1 10月份甲 乙兩個工廠的利潤的大小情況 解 2 由 1 知甲廠在今年5月份的利潤為f 5 86萬元 乙廠在今年5月份的利潤為g 5 86萬元 故有f 5 g 5 即甲 乙兩個工廠今年5月份的利潤相等 3 作函數(shù)圖象如下 從圖中可以看出今年1 10月份甲 乙兩個工廠的利潤 當x 1或x 5時 有f x g x 即甲 乙兩工廠利潤相等 當1g x 即甲工廠利潤大于乙工廠利潤 當5 x 10時 有f x g x 即甲工廠利潤小于乙工廠利潤 2 試問2016年第幾個月旅游消費總額最大 最大月旅游消費總額為多少元 當7 x 12 且x N 時 g x 480 x 6400是減函數(shù) 所以當x 7時 g x max g 7 3040 萬元 綜上 2016年5月份的旅游消費總額最大 最大月旅游消費總額為3125萬元 解題規(guī)范夯實把典型問題的解決程序化 函數(shù)模型的實際應用 審題點撥 答題模板 第一步 審題 弄清題意 分清條件和結論 理順數(shù)量關系 第二步 建模 將文字語言轉化成數(shù)學語言 用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型 第三步 求模 求解數(shù)學模型 得到數(shù)學結論 第四步 還原 將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義 第五步 反思回顧 對于數(shù)學模型得到的數(shù)學結果 必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性