第4節(jié)指數(shù)函數(shù) 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來 教材導(dǎo)讀 函數(shù)y 2x 1是指數(shù)函數(shù)嗎 提示 不是 因?yàn)閥 2x 1不滿足y ax的形式 知識(shí)梳理 3 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 2 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) 1 am an am n 2 am n amn 3 ab n anbn a 0 b 0 3 指數(shù)函數(shù) 1 指數(shù)函數(shù)的概念 解析式 自變量 定義域 y ax a 0且a 1 x R 0 減 增 重要結(jié)論 指數(shù)函數(shù)圖像在第一象限內(nèi) 從下到上底數(shù)依次增大 夯基自測(cè) B 1 如圖是指數(shù)函數(shù) y ax y bx y cx y dx的圖像 則a b c d與1的大小關(guān)系為 A a b 1 c d B b a 1 d c C 1 a b c d D a b 1 d c 解析 由圖像可知 的底數(shù)必大于1 的底數(shù)必小于1 過點(diǎn) 1 0 作直線x 1 在第一象限內(nèi)分別與各曲線相交 由圖像可知1 d c b a 1 從而可得a b c d與1的大小關(guān)系為b a 1 d c C B 3 y ax 1 2 a 0且a 1 的圖像一定過點(diǎn) A 1 1 B 1 3 C 2 0 D 4 0 解析 由x 1 0 解得x 1 此時(shí)y 1 2 3 即函數(shù)的圖像過定點(diǎn) 1 3 錯(cuò)誤 2a 2b 2a b 正確 兩個(gè)函數(shù)均不符合指數(shù)函數(shù)的定義 錯(cuò)誤 當(dāng)a 1時(shí) mn 答案 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值 考點(diǎn)一 3 在進(jìn)行冪的運(yùn)算時(shí) 一般是先將根式化成冪的形式 并化小數(shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 4 結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 考點(diǎn)二 例2 1 函數(shù)f x 1 e x 的圖像大致是 解析 1 由f x 1 e x 是偶函數(shù) 值域是 0 故選A 答案 1 A 答案 2 1 1 2 若曲線 y 2x 1與直線y b沒有公共點(diǎn) 則b的取值范圍是 解析 2 曲線 y 2x 1與直線y b的圖像如圖所示 由圖像可得 如果 y 2x 1與直線y b沒有公共點(diǎn) 則b應(yīng)滿足的條件是b 1 1 反思?xì)w納 1 求解指數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題 單調(diào)性 最值 大小比較 零點(diǎn)等 的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像 通過平移 對(duì)稱變換得到其圖像 然后數(shù)形結(jié)合使問題得解 2 求解指數(shù)型方程 不等式問題一些指數(shù)型方程 不等式問題的求解 往往運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想把方程 不等式轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系 再利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解 即時(shí)訓(xùn)練 1 函數(shù)y ax a a 0 且a 1 的圖像可能是 解析 1 當(dāng)x 1時(shí) y a1 a 0 所以y ax a的圖像必過定點(diǎn) 1 0 只有C符合 故選C 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 考點(diǎn)三 例3 2016松江模擬 已知函數(shù)f x a x b a 0 a 1 b R 1 若f x 為偶函數(shù) 求b的值 思路點(diǎn)撥 本題求解第 1 問的關(guān)鍵是由f x f x 建立方程求解b 解 1 因?yàn)閒 x 為偶函數(shù) 所以對(duì)任意的x R 都有f x f x 即a x b a x b 可得 x b x b 得b 0 當(dāng)01且b 2 2 若f x 在區(qū)間 2 上是增函數(shù) 試求a b應(yīng)滿足的條件 思路點(diǎn)撥 第 2 問要注意對(duì)a的討論 反思?xì)w納求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題 首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域 值域 單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì) 其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成 涉及值域 單調(diào)區(qū)間 最值等問題時(shí) 都要借助 同增異減 這一性質(zhì)分析判斷 備選例題 例1 2014高考安徽卷 設(shè)a log37 b 21 7 c 0 83 1 則 A b a c B c a b C c b a D a c b 解析 因?yàn)?2 0 c 0 83 1 1 所以c a b 選B 解 2 因?yàn)楹瘮?shù)f x 在 0 1 上是增函數(shù) 所以f x aln2 2x ln4 4x 2xln2 a 2 2x 0 所以a 2 2x 0恒成立 a 2 2x 因?yàn)?x 1 2 所以a 4 即a的取值范圍是 4 2 若f x 是 0 1 上的增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解 2 當(dāng)a 1時(shí) a2 1 0 y ax為增函數(shù) y a x為減函數(shù) 從而y ax a x為增函數(shù) 所以f x 為增函數(shù) 當(dāng)00且a 1時(shí) f x 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增 2 討論f x 的單調(diào)性 類題探源精析把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化 指數(shù)冪大小的比較方法教材源題 比較下列各題中兩個(gè)值的大小 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 解 1 1 72 5 1 73可看作函數(shù)y 1 7x的兩個(gè)函數(shù)值 由于底數(shù)1 7 1 所以指數(shù)函數(shù)y 1 7x在R上是增函數(shù) 因?yàn)? 5 0 2 所以0 8 0 11 70 1 0 93 10 93 1 方法總結(jié)比較指數(shù)冪大小的技巧 1 比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí) 盡量化同底或同指 當(dāng)?shù)讛?shù)相同 指數(shù)不同時(shí) 構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù) 然后比較大小 2 當(dāng)指數(shù)相同 底數(shù)不同時(shí) 構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù) 利用圖像比較大小 3 借助中間值作為橋梁進(jìn)行比較大小 源題變式 2015高考山東卷 設(shè)a 0 60 6 b 0 61 5 c 1 50 6 則a b c的大小關(guān)系是 A a b c B a c b C b a c D b c a 解析 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y 0 6x在 上為減函數(shù) 所以0 60 6 0 61 5 即a b 又01 所以a c 故選C