考點(diǎn)突破 夯基釋疑 考點(diǎn)一 考點(diǎn)三 考點(diǎn)二 例1 訓(xùn)練1 例2 訓(xùn)練2 例3 訓(xùn)練3 第1講變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 概要 課堂小結(jié) 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 1 曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) 2 與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線 3 已知曲線y x3 則過點(diǎn)P 1 1 的切線有兩條 4 物體運(yùn)動的方程是s 4t2 16t 在某一時(shí)刻的速度為0 則相應(yīng)的時(shí)刻t 2 5 f ax b f ax b 夯基釋疑 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 利用公式及求導(dǎo)法則 解 1 y ex cosx ex cosx excosx exsinx 考點(diǎn)突破 規(guī)律方法 1 求導(dǎo)之前 應(yīng)利用代數(shù) 三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡 然后求導(dǎo) 這樣可以減少運(yùn)算量 提高運(yùn)算速度 減少差錯(cuò) 遇到函數(shù)的商的形式時(shí) 如能化簡則化簡 這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則 減少運(yùn)算量 2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí) 先確定復(fù)合關(guān)系 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) 必要時(shí)可換元 考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用 例2 已知函數(shù)f x x3 4x2 5x 4 1 求曲線f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程 2 求經(jīng)過點(diǎn)A 2 2 的曲線f x 的切線方程 點(diǎn) 2 f 2 是切點(diǎn) 點(diǎn)A不一定是切點(diǎn) 解 1 f x 3x2 8x 5 f 2 1 又f 2 2 曲線在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程為y 2 x 2 即x y 4 0 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用 例2 已知函數(shù)f x x3 4x2 5x 4 1 求曲線f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程 2 求經(jīng)過點(diǎn)A 2 2 的曲線f x 的切線方程 點(diǎn) 2 f 2 是切點(diǎn) 點(diǎn)A不一定是切點(diǎn) 2 設(shè)曲線與經(jīng)過點(diǎn)A 2 2 的切線相切于點(diǎn) 整理得 x0 2 2 x0 1 0 解得x0 2或1 經(jīng)過A 2 2 的曲線f x 的切線方程為x y 4 0 或y 2 0 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用 規(guī)律方法求切線方程時(shí) 注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線 曲線y f x 在點(diǎn)P x0 f x0 處的切線方程是y f x0 f x0 x x0 求過某點(diǎn)的切線方程 需先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo) 再根據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解 考點(diǎn)突破 則f 1 1 故函數(shù)f x 在點(diǎn) 1 2 處的切線方程為y 2 x 1 即x y 3 0 考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用 考點(diǎn)突破 2 f x 3x2 2ax a 3 又f x 為偶函數(shù) 則a 0 所以f x x3 3x f x 3x2 3 故f 0 3 故所求的切線方程為y 3x 答案 1 C 2 B 考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例3 2014 北京卷 已知函數(shù)f x 2x3 3x 1 求f x 在區(qū)間 2 1 上的最大值 2 若過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 求t的取值范圍 3 問過點(diǎn)A 1 2 B 2 10 C 0 2 分別存在幾條直線與曲線y f x 相切 只需寫出結(jié)論 解 1 由f x 2x3 3x得f x 6x2 3 考點(diǎn)突破 2 設(shè)過點(diǎn)P 1 t 的直線與曲線y f x 相切于點(diǎn) x0 y0 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例3 2014 北京卷 已知函數(shù)f x 2x3 3x 1 求f x 在區(qū)間 2 1 上的最大值 2 若過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 求t的取值范圍 3 問過點(diǎn)A 1 2 B 2 10 C 0 2 分別存在幾條直線與曲線y f x 相切 只需寫出結(jié)論 設(shè)g x 4x3 6x2 t 3 則 過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 等價(jià)于 g x 有3個(gè)不同零點(diǎn) g x 12x2 12x 12x x 1 考點(diǎn)突破 g x 與g x 的變化情況如下表 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例3 2014 北京卷 已知函數(shù)f x 2x3 3x 1 求f x 在區(qū)間 2 1 上的最大值 2 若過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 求t的取值范圍 3 問過點(diǎn)A 1 2 B 2 10 C 0 2 分別存在幾條直線與曲線y f x 相切 只需寫出結(jié)論 所以 g 0 t 3是g x 的極大值 g 1 t 1是g x 的極小值 當(dāng)g 0 t 3 0 即t 3時(shí) 此時(shí)g x 在區(qū)間 1 和 1 上分別至多有1個(gè)零點(diǎn) 所以g x 至多有2個(gè)零點(diǎn) 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例3 2014 北京卷 已知函數(shù)f x 2x3 3x 1 求f x 在區(qū)間 2 1 上的最大值 2 若過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 求t的取值范圍 3 問過點(diǎn)A 1 2 B 2 10 C 0 2 分別存在幾條直線與曲線y f x 相切 只需寫出結(jié)論 此時(shí)g x 在區(qū)間 0 和 0 上分別至多有1個(gè)零點(diǎn) 所以g x 至多有2個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)g 0 0且g 1 0 即 3 t 1時(shí) 因?yàn)間 1 t 7 0 g 2 t 11 0 所以g x 分別在區(qū)間 1 0 0 1 和 1 2 上恰有1個(gè)零點(diǎn) 由于g x 在區(qū)間 0 和 1 上單調(diào) 所以g x 分別在區(qū)間 0 和 1 上恰有1個(gè)零點(diǎn) 綜上可知 當(dāng)過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切時(shí) t的取值范圍是 3 1 考點(diǎn)突破 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 例3 2014 北京卷 已知函數(shù)f x 2x3 3x 1 求f x 在區(qū)間 2 1 上的最大值 2 若過點(diǎn)P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 求t的取值范圍 3 問過點(diǎn)A 1 2 B 2 10 C 0 2 分別存在幾條直線與曲線y f x 相切 只需寫出結(jié)論 3 過點(diǎn)A 1 2 存在3條直線與曲線y f x 相切 過點(diǎn)B 2 10 存在2條直線與曲線y f x 相切 過點(diǎn)C 0 2 存在1條直線與曲線y f x 相切 考點(diǎn)突破 規(guī)律方法解決本題第 2 問的關(guān)鍵是利用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)表示切線方程 可將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程有三個(gè)不同的實(shí)根 構(gòu)造函數(shù)后 研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 通過數(shù)形結(jié)合方法找到t滿足的條件即可 第 3 問類比第 2 問方法即可 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 考點(diǎn)突破 解 1 對于C1 y x2 2x 2 有y 2x 2 對于C2 y x2 ax b 有y 2x a 設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為 x0 y0 由題意知過交點(diǎn) x0 y0 的兩切線互相垂直 2x0 2 2x0 a 1 又點(diǎn) x0 y0 在C1與C2上 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 訓(xùn)練3 設(shè)函數(shù)y x2 2x 2的圖象為C1 函數(shù)y x2 ax b的圖象為C2 已知過C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直 1 求a b之間的關(guān)系 2 求ab的最大值 考點(diǎn)突破 接上一頁 考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 訓(xùn)練3 設(shè)函數(shù)y x2 2x 2的圖象為C1 函數(shù)y x2 ax b的圖象為C2 已知過C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直 1 求a b之間的關(guān)系 2 求ab的最大值 1 f x0 代表函數(shù)f x 在x x0處的導(dǎo)數(shù)值 f x0 是函數(shù)值f x0 的導(dǎo)數(shù) 而函數(shù)值f x0 是一個(gè)常量 其導(dǎo)數(shù)一定為0 即 f x0 0 2 對于函數(shù)求導(dǎo) 一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則 求導(dǎo)時(shí) 不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用 而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用 在實(shí)施化簡時(shí) 首先必須注意變換的等價(jià)性 避免不必要的運(yùn)算失誤 對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 關(guān)鍵在于分清復(fù)合關(guān)系 適當(dāng)選取中間變量 然后 由外及內(nèi) 逐層求導(dǎo) 思想方法 課堂小結(jié) 1 利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意不要將冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 xn nxn 1與指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式 ax axlnx混淆 易錯(cuò)防范 課堂小結(jié) 2 直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征 直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) 不能說明直線就是曲線的切線 反之 直線是曲線的切線 也不能說明直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn) 3 曲線未必在其切線的 同側(cè) 例如直線y 0是曲線y x3在點(diǎn) 0 0 處的切線