第七章不等式 7 1不等關(guān)系與一元二次不等式 考綱要求 1 了解現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系 2 了解不等式 組 的實際背景 3 會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型 4 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù) 一元二次方程的聯(lián)系 5 會解一元二次不等式 對給定的一元二次不等式 會設(shè)計求解的程序框圖 1 兩個實數(shù)比較大小的方法 2 不等式的性質(zhì) 1 對稱性 a b bb b c a c 3 可加性 a b a c b c a b c d a c b d 4 可乘性 a b c 0 ac bc a b 0 c d 0 ac bd 5 可乘方 a b 0 an bn n N n 1 3 三個 二次 間的關(guān)系 2 3 4 1 5 2 3 4 1 5 2 2014四川 理4 若a b 0 c d 0 則一定有 答案 解析 2 3 4 1 5 3 若角 滿足 則2 的取值范圍是 答案 解析 2 3 4 1 5 4 不等式 x2 3x 4 0的解集為 用區(qū)間表示 答案 解析 2 3 4 1 5 5 若關(guān)于x的不等式2kx2 kx 0對一切實數(shù)x都成立 則實數(shù)k的取值范圍是 答案 解析 2 3 4 1 5 自測點評1 在應(yīng)用不等式性質(zhì)時 不可強化或弱化成立的條件 如 同向不等式 才可相加 同向且兩邊同正的不等式 才可相乘 可乘性 中的c的符號等都需注意 2 當判斷兩個式子大小時 對錯誤的關(guān)系式舉反例即可 對正確的關(guān)系式 則需推理論證 3 解不等式ax2 bx c 0 0 0 恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖像決定 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 考點1比較兩個數(shù) 式 的大小例1 1 若實數(shù)a 1 則a 2與的大小關(guān)系為 答案 解析 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 2 已知a1 a2 0 1 記M a1a2 N a1 a2 1 則M與N的大小關(guān)系是 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 思考 比較兩個數(shù) 式 大小常用的方法有哪些 解題心得 比較大小常用的方法有 作差法 作商法 構(gòu)造函數(shù)法 1 作差法的一般步驟是 作差 變形 定號 下結(jié)論 變形常采用配方 因式分解 有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式 2 作商法一般適用于分式 指數(shù)式 對數(shù)式 作商只是思路 關(guān)鍵是化簡變形 從而使結(jié)果能夠與1比較大小 3 構(gòu)造函數(shù)法 構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓(xùn)練1 1 若 則 A a b cB c b aC c a bD b a c 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 2 已知a b是實數(shù) 且e a b 其中e是自然對數(shù)的底數(shù) 則ab與ba的大小關(guān)系是 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 考點2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用例2 1 2015廣東汕頭模擬 如果a R 且a2 aa a2 aB a2 a a a2C a a2 a a2D a a2 a2 a 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 2 設(shè)a b為正實數(shù) 現(xiàn)有下列命題 若a2 b2 1 則a b 1 若 a3 b3 1 則 a b 1 其中的真命題有 寫出所有真命題的序號 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 思考 判斷多個不等式是否成立常用方法有哪些 解題心得 判斷多個不等式是否成立的常用方法有 一是直接使用不等式性質(zhì) 逐個驗證 二是用特殊值法排除 而常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個方面思考 1 不等式兩邊都乘以一個代數(shù)式時 考察所乘的代數(shù)式是正數(shù) 負數(shù)或0 2 不等式左邊是正數(shù) 右邊是負數(shù) 當兩邊同時平方后不等號方向不一定保持不變 3 不等式左邊是正數(shù) 右邊是負數(shù) 當兩邊同時取倒數(shù)后不等號方向不變等 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓(xùn)練2 1 2015陜西銅川模擬 已知aab ab2B ab2 ab aC ab a ab2D ab ab2 a 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 2 2015西寧二模 已知a b c R 那么下列命題中正確的是 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 考點3一元二次不等式的解法例3求下列不等式的解集 1 x2 8x 3 0 2 ax2 a 1 x 1 0 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 思考 如何解含參數(shù)的一元二次不等式 解題心得 1 解不含參數(shù)的一元二次不等式時 當二次項系數(shù)為負時要先化為正 再根據(jù)判別式符號判斷對應(yīng)方程根的情況 最后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖像寫出不等式的解集 2 解含參數(shù)的一元二次不等式時 要把握好分類討論的層次 一般按下面次序進行討論 首先根據(jù)二次項系數(shù)的符號進行分類 其次根據(jù)根是否存在 即 的符號進行分類 最后在根存在時 根據(jù)根的大小進行分類 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓(xùn)練3 1 已知函數(shù)f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 那么不等式f 2x 0的解集是 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 2 解關(guān)于x的不等式 ax2 2 2x ax a R 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 考點4一元二次不等式恒成立問題 多維探究 類型一已知x的范圍求參數(shù)的范圍例4設(shè)函數(shù)f x mx2 mx 1 1 若對于一切實數(shù)x f x 0恒成立 求m的取值范圍 2 若對于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范圍 思考 已知一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立 求參數(shù)范圍的解題思路有哪些 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 類型二已知參數(shù)范圍求x的范圍例5 2015江西新余模擬 對任意a 1 1 函數(shù)f x x2 a 4 x 4 2a的值恒大于零 求x的取值范圍 答案 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 思考 已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是什么 解題心得 1 含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題 常有兩種處理方法 一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來處理 二是先分離出參數(shù) 再去求函數(shù)的最值來處理 2 已知參數(shù)范圍求函數(shù)自變量的范圍的一般思路是更換主元法 把參數(shù)當作函數(shù)的自變量 得到一種新的函數(shù) 然后利用新函數(shù)求解 確定主元的原則是 知道誰的范圍 誰就是主元 求誰的范圍 誰就是參數(shù) 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓(xùn)練4 1 若關(guān)于x的不等式ax2 2x 2 0在R上恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 2 已知函數(shù) 若對任意x 1 f x 0恒成立 則實數(shù)a的取值范圍為 答案 解析 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 1 判斷不等式是否成立 主要利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法 特別是對于有一定條件限制的選擇題 用特殊值驗證的方法更簡單 2 比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù) 是不等式證明的主要方法之一 3 三個二次 的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ) 4 在解含有參數(shù)的不等式時 分類討論的劃分一定要明確 先進行大的分類 在每大類中再進行小的分類 注意分類要做到不重不漏 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 知識方法 易錯易混 考點1 考點2 考點3 考點4 1 不等式兩邊同乘或同除以一個不為0的數(shù)時 要弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù) 以便確定不等式是否改變方向 2 解不等式ax2 bx c 0時 要考慮a 0的情形 3 當 0 a 0 的解集是R還是 與a的正負有關(guān) 要注意區(qū)分 知識方法 易錯易混