3 2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 課時(shí)1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 內(nèi)容索引 題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 題型三利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 思想與方法系列 練出高分 思想方法感悟提高 題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 解函數(shù)f x 的定義域?yàn)?0 當(dāng)f x 0 即0e時(shí) 函數(shù)f x 單調(diào)遞減 故函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 e 單調(diào)遞減區(qū)間為 e 解析答案 思維升華 思維升華 確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 1 確定函數(shù)f x 的定義域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間 4 解不等式f x 0 解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 返回 已知定義在區(qū)間 上的函數(shù)f x xsinx cosx 則f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 解析答案 1 當(dāng)a 1時(shí) 求曲線y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程 所以切線方程為y ln2 2 x 2 整理得x y ln2 0 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 此時(shí) 在 0 1 上 f x 0 f x 單調(diào)遞增 思維升華 所以f x 在 0 上單調(diào)遞減 綜上 當(dāng)a 0時(shí) f x 在 0 1 上單調(diào)遞減 在 1 上單調(diào)遞增 思維升華 1 研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性 要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論 2 劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí) 要在函數(shù)定義域內(nèi)討論 還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn) 3 個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性 如f x x3 f x 3x2 0 f x 0在x 0時(shí)取到 f x 在R上是增函數(shù) 討論函數(shù)f x a 1 lnx ax2 1的單調(diào)性 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 返回 當(dāng)a 1時(shí) f x 0 故f x 在 0 上單調(diào)遞增 當(dāng)a 0時(shí) f x 0 故f x 在 0 上單調(diào)遞減 返回 題型三利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 解f x x2 ax b 題型三利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 解析答案 2 若a 0 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 解由 1 得 f x x2 ax x x a a 0 當(dāng)x 0 時(shí) f x 0 當(dāng)x 0 a 時(shí) f x 0 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 0 a 單調(diào)遞減區(qū)間為 0 a 解析答案 3 設(shè)函數(shù)g x f x 2x 且g x 在區(qū)間 2 1 內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解g x x2 ax 2 依題意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 解析答案 在本例3 3 中 1 若g x 在 2 1 內(nèi)為減函數(shù) 如何求解 引申探究 解析答案 解方法一 g x x2 ax 2 且g x 在 2 1 內(nèi)為減函數(shù) g x 0 即x2 ax 2 0在 2 1 內(nèi)恒成立 解之得a 3 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為 3 解析答案 方法二 g x x2 ax 2 由題意可得g x 0在 2 1 上恒成立 a 3 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 3 2 若g x 的單調(diào)減區(qū)間為 2 1 求a的值 解 g x 的單調(diào)減區(qū)間為 2 1 x1 2 x2 1是g x 0的兩個(gè)根 2 1 a 即a 3 解析答案 3 若g x 在 2 1 上不單調(diào) 求a的取值范圍 解由引申探究1知g x 在 2 1 上為減函數(shù) a的范圍是 3 若g x 在 2 1 上為增函數(shù) 解析答案 思維升華 思維升華 已知函數(shù)單調(diào)性 求參數(shù)范圍的兩個(gè)方法 1 利用集合間的包含關(guān)系處理 y f x 在 a b 上單調(diào) 則區(qū)間 a b 是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集 2 轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題 即 若函數(shù)單調(diào)遞增 則f x 0 若函數(shù)單調(diào)遞減 則f x 0 來(lái)求解 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 2 若f x 在 0 上是單調(diào)函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析答案 返回 若f x 為單調(diào)遞減函數(shù) 則f x 0 在x 0時(shí)恒成立 解析答案 由g x 0 得x 1 由g x 0時(shí)恒成立 解析答案 由上述推理可知此時(shí)a 1 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 返回 思想與方法系列 典例 14分 已知函數(shù)f x lnx g x f x ax2 bx 其中函數(shù)g x 的圖象在點(diǎn) 1 g 1 處的切線平行于x軸 1 確定a與b的關(guān)系 2 若a 0 試討論函數(shù)g x 的單調(diào)性 思維點(diǎn)撥依據(jù)g x 的切線條件可得g 1 0得a b關(guān)系 代g x 后消去b 對(duì)a進(jìn)行分類討論確定g x 的符號(hào) 思想與方法系列 5 分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性 思維點(diǎn)撥 解析答案 返回 溫馨提醒 規(guī)范解答解 1 依題意得g x lnx ax2 bx 由函數(shù)g x 的圖象在點(diǎn) 1 g 1 處的切線平行于x軸得 g 1 1 2a b 0 b 2a 1 4分 函數(shù)g x 的定義域?yàn)?0 解析答案 溫馨提醒 由g x 0 得01 6分 解析答案 溫馨提醒 綜上可得 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)g x 在 0 1 上單調(diào)遞增 在 1 上單調(diào)遞減 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 1 含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題一般要分類討論 常見(jiàn)的分類討論標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種可能 方程f x 0是否有根 若f x 0有根 求出根后是否在定義域內(nèi) 若根在定義域內(nèi)且有兩個(gè) 比較根的大小是常見(jiàn)的分類方法 思想方法感悟提高 1 已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間 實(shí)質(zhì)上是求f x 0 f x 0的解區(qū)間 并注意定義域 2 含參函數(shù)的單調(diào)性要分類討論 通過(guò)確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性 3 已知函數(shù)單調(diào)性可以利用已知區(qū)間和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的包含關(guān)系或轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題兩種思路解決 方法與技巧 1 f x 為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x a b 都有f x 0且在 a b 內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f x 不恒為零 應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略 否則漏解 2 注意兩種表述 函數(shù)f x 在 a b 上為減函數(shù) 與 函數(shù)f x 的減區(qū)間為 a b 的區(qū)別 3 討論函數(shù)單調(diào)性要在定義域內(nèi)進(jìn)行 不要忽略函數(shù)的間斷點(diǎn) 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 函數(shù)f x x 3 ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析函數(shù)f x x 3 ex的導(dǎo)數(shù)為f x x 3 ex ex x 3 ex x 2 ex 由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 得當(dāng)f x 0時(shí) 函數(shù)f x 單調(diào)遞增 此時(shí)由不等式f x x 2 ex 0 解得x 2 2 解析答案 2 若函數(shù)f x 2x3 3mx2 6x在區(qū)間 2 上為增函數(shù) 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 解析 f x 6x2 6mx 6 當(dāng)x 2 時(shí) f x 0恒成立 即x2 mx 1 0恒成立 當(dāng)x 2時(shí) g x 0 即g x 在 2 上單調(diào)遞增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析由題意得f x 1 2cosx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 定義在R上的函數(shù)f x 滿足 f x f x 恒成立 若x1 x2 的大小關(guān)系為 由題意g x 0 所以g x 單調(diào)遞增 當(dāng)x1 x2時(shí) g x1 g x2 即 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析依題意得 當(dāng)x0 f x 為增函數(shù) c a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 函數(shù)f x x lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為 解析函數(shù)的定義域是 0 令f x 0 解得0 x 1 所以單調(diào)遞減區(qū)間是 0 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 7 已知a 0 函數(shù)f x x2 2ax ex 若f x 在 1 1 上是單調(diào)減函數(shù) 則a的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析f x 2x 2a ex x2 2ax ex x2 2 2a x 2a ex 由題意當(dāng)x 1 1 時(shí) f x 0恒成立 即x2 2 2a x 2a 0在x 1 1 時(shí)恒成立 令g x x2 2 2a x 2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析 f x x3 bx2 cx d f x 3x2 2bx c 由題圖可知f 2 f 3 0 則g x x2 x 6 g x 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由g x x2 x 6 0 解得x3 當(dāng)x 2時(shí) g x 0 g x x2 x 6在 2 上為減函數(shù) 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 令f x 0 解得x 1或x 5 因?yàn)閤 1不在f x 的定義域 0 內(nèi) 故舍去 當(dāng)x 0 5 時(shí) f x 0 故f x 在 5 內(nèi)為增函數(shù) 綜上 f x 的單調(diào)增區(qū)間為 5 單調(diào)減區(qū)間為 0 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 g x x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 即x2 2m 2 x 1 0在 1 上恒成立 2m 2 2 m 2 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 即在 0 3 上原函數(shù)是減函數(shù) a 1 0且a 1 3 解得1 a 2 1 a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 3 0 3 解析對(duì)f x 求導(dǎo) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由f x 0得函數(shù)f x 的兩個(gè)極值點(diǎn)為1和3 則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間 t t 1 內(nèi) 函數(shù)f x 在區(qū)間 t t 1 上就不單調(diào) 由t 1 t 1或t 3 t 1 得0 t 1或2 t 3 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 函數(shù)f x ax3 3x2 3x a 0 1 討論函數(shù)f x 的單調(diào)性 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解f x 3ax2 6x 3 f x 3ax2 6x 3 0的判別式 36 1 a 若a 1 則f x 0 且f x 0 當(dāng)且僅當(dāng)a 1 x 1 故此時(shí)f x 在R上是增函數(shù) 由于a 0 故當(dāng)a 1時(shí) f x 0有兩個(gè)根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若00 故f x 分別在 x2 x1 上是增函數(shù) 當(dāng)x x2 x1 時(shí) f x 0 故f x 在 x1 x2 上是增函數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 上是增函數(shù) 求a的取值范圍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解當(dāng)a 0 x 0時(shí) f x 0 所以當(dāng)a 0時(shí) f x 在區(qū)間 1 2 上是增函數(shù) 當(dāng)a 0時(shí) f x 在區(qū)間 1 2 上是增函數(shù)